Сущность и применение функционального метода решения уравнений и неравенств

 Введем несколько ключевых определений. Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Уравнение – равенство значений двух функций . Корнем уравнения называется каждое значение переменной х из области определения уравнения, при которых высказывание истинно. Решить уравнение – значит найти множество всех его корней или доказать, что их не существует. Школьный курс математики предполагает обучение учащихся различным методам решения уравнений и неравенств.

С каждым уравнением, неравенством связаны конструирующие их аналитические выражения. Последние в свою очередь могут задавать функции одной или нескольких переменных. Поэтому присутствие функций, а точнее, их свойств, не может не влиять на решение задач такого рода. Просто в одних случаях мы как бы негласно используем свойства функций, в других явно ссылаемся на них. Порой «гласное» смещение акцентов в сторону свойств функций может оказать существенную пользу в поиске рациональных идей решения.

В ряде случаев точное решение уравнения (неравенства ) по изученным правилам затруднительно или даже невозможно. Однако бывает достаточно обратить внимание на какие-то свойства функций , как сразу же решается вопрос о наличии решений уравнения (неравенства) или выявляется наиболее рациональный прием его решения. Основу для таких утверждений дает нам одно из определений уравнения, как равенства двух функций. Итак, суть функционального метода: использование свойств функций или построение графиков для решения уравнений и неравенств. Целесообразно выделить следующие компоненты метода:

1)отыскание области определения функций;

2)отыскание области значений функций;

3)исследование функций на монотонность;

4)соотнесение свойств функций, входящих в уравнение или неравенство, с условием;

5)отыскание корней уравнения методом перебора.

Функциональный метод решения уравнений и неравенств, направлен на повышение умения решать уравнения и неравенства. Чтобы овладеть данным методом, надо знать элементарные функции и их свойства.

Функциональный метод используется:

1) в обосновании классических методов решения уравнений, неравенств, систем (теорем равносильности, методов интервалов);

2) для решения задач, которые другими методами решить нельзя;

3) при решении неравенств, которые являются математической моделью других задач: нахождение области определения, множества значений функций, нахождение интервалов монотонности.

Таким образом, одним из методов решения уравнений и неравенств является функциональный, основанный на использова­нии свойств функций. В отличие от графического метода, знание свойств функций позволяет находить точные корни уравнения (неравенства), при этом не требуется построения графиков функ­ций. Использование свойств функций способствует рационализа­ции решений уравнений и неравенств.