Использование свойства монотонности функции

Решение уравнений (неравенств) с помощью монотонности функций позволяет быстро найти корень (множество всех решений) уравнения (неравенства). Приведем несколько примеров, где при решении используются свойства возрастания и убывания функций.

Пример 20. Решить уравнение

Решение. Левая часть уравнения является возрастающей функцией. Значит, она может принимать значение -42 не более чем в одной точке. Подбором находим

Ответ: -2.

 

 

Пример 21. Решить уравнение

Решение. Область определения совпадает со множеством решений системы неравенств:

Функция  возрастает на промежутке , а функция  – постоянная. Значит, уравнение имеет единственный корень. Подбором находим, что x = 3.

Ответ: 3.

 

 

Пример 22. Решить неравенство

Решение.  – возрастающая функция,  – убывающая функция.

При x = 3 левая и правая части неравенства равны, значит, неравенству удовлетворяют то есть

Ответ:

 

 

Пример 23. Решить неравенство

Решение. Область определения левой части

При левая и правая части неравенства равны.

Так как левая часть возрастающая функция, а правая убывающая, то неравенству удовлетворяют x < -2.

Тогда с учётом области определения, имеем

Ответ: [-18; -2).

 

 

Пример 24. Решить уравнение

Решение.

возрастает на промежутке

Подбором находим, что x = -1, и этот корень будет единственным.

Ответ: -1.

 

 

Пример 25. Решить уравнение

Решение. Подбором находим, что число 2 – корень данного уравнения поскольку

, то есть 0 = 0  - верное числовое равенство. Других коней уравнение не имеет, так как функция –возрастающая, а функция  является убывающей.

Ответ: 2.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Функциональный метод решения применяют тогда, когда уравнение или неравенство в результате преобразований или замены переменных не может быть приведено к тому или иному стандартному уравнению, имеющему определенный алгоритм решения. Не всегда следует пытаться решать его стандартным методом, достаточно лишь взглянуть на него и найти зацепку, которая приведет нас к более рациональному способу. От нас требуется во всякой конкретной задаче отвлечься от несущественных деталей и увидеть в ней общее функциональное содержание: найти реальные области изменения величин, выяснить характер их зависимости. Решение таких задач воспитывает умение схематизировать; развивает интуицию, логику мышления; развивает творческие исследовательские способности.  Умение применять необходимые свойства функций при решении уравнений и неравенств позволит нам решать их на сознательной основе.

В результате исследования нами были решены следующие задачи:

1. мы проанализировали теоретический материал по теме исследования;

2. описан функциональный метод, его сущность;

3. приведены и рассмотрены на примере методы решения уравнений и неравенств, основанные на использовании свойств функций, входящих в данное уравнение и неравенство;

4. сделаны выводы о преимуществах и недостатках, об эффективности функционального метода.

Гипотеза, выдвинутая в начале исследования о том, что использование функционального метода позволяет прийти к рациональному и наиболее быстрому способу решения уравнений и неравенств получила положительные подтверждения. Опираясь на полученные положительные результаты, можно сделать вывод, что цель работы была достигнута.