Расчет статически-неопределимых конструкций,

Испытывающих растяжение-сжатие

 

Для системы состоящей из элемента большой жесткости и двух стержней, один из которых нагрет (охлажден) на величину D t, а другой изготовлен на величину D короче (длиннее) своего исходного размера определить напряжения в стержняx.

(Для систем, состоящих из трех стержней данные для третьего стержня взять такие же, как для первого стержня).

Числовые данные для расчета принять из табл. 1.3.1, схему для расчета из рис. 1.3.1.

 

Таблица 1.3.1

Числовые данные к задаче 1.3

 

№ варианта	F, кН	b, град	l, м	а, м	Стержень 1	Стержень 2	Площадь сечения стержня
							А 1, мм2	А 2, мм2
1	400	30	1,0	0,8	нагрет на	короче на мм	900	1500
2	350	40	0,9	0,9	короче на	охлажден на	1000	1400
3	300	15	0,8	1	охлажден на	короче на мм	1100	1300
4	250	20	0,7	0,9	длиннее на	нагрет на	1200	1200
5	200	25	0,6	0,5	нагрет на	длиннее на мм	1300	1100
6	300	30	0,5	0,7	короче на	нагрет на	1400	1000
7	400	35	0,6	1,0	охлажден на	длиннее на мм	1500	900
8	500	45	0,7	0,5	короче на	охлажден на	1600	800
9	600	40	0,8	0,9	охлажден на	короче на мм	1700	700
10	150	30	0,9	1,0	длиннее на мм	нагрет на	1800	600

 

I	II
III	IV
V	VI
VII	VIII
IX	X

Рис. 1.3.1. Расчетные схемы к задаче 1.3

Пример решения и методические указания к задаче 1.3

Для системы (рис. 3.2) состоящей из жесткой балки и двух стальных стержней, первый из которых изготовлен на величину короче требуемого размера, а второй нагрет на величину , определить напряжения в стержнях.

Числовые данные для расчета:

, , , .

 

а

а

a

2

D

45°

C

F

В

А

1

 

Рис. 1.3.2. К примеру решения задачи 1.3

 

Решение

1. Определяем степень статической неопределимости системы

,

где С – степень статической неопределимости, Н – число неизвестных (N ₁, N ₂, R_D, H_D), J – число уравнений статики, которые можно составить для данной системы.

При расчете данной системы необходимо одновременно учитывать влияние внешней нагрузки, изменение температуры и неточность изготовления.

При решении возможен одновременный учет всех факторов и в этом случае в уравнение совместности деформаций (деформационное уравнение) должны быть включены все члены, учитывающие влияние всех факторов.

Данную задачу решим более простым и удобным методом суперпозиций (принцип независимости действия сил). В соответствии с ним рассматриваем три задачи: первая – действует только сила F; вторая – определение температурного воздействия; третья – определение монтажных напряжений.

Полученные в результате расчета напряжения алгебраически складываются.

2. Действует только сила F.

Вычерчиваем расчетную схему (рис. 1.3.3).

			N 2
	N 1

D

 

Рис. 1.3.3. Расчетная схема

 

Из трех уравнений равновесия для решения поставленной задачи достаточно составить уравнение моментов относительно точки D.

                                        (1)

Для составление уравнения совместности деформаций строим схему перемещений (рис. 1.3.4)

Рис. 1.3.4. Схема перемещений

 

Жесткий брус поворачивать против часовой стрелки. Из подобия треугольников СС ₁ D и АА ₁ D следует, что:

                                               (2)

                            (3)

Подставим значения из (3) в (2)

.

Окончательно уравнение совместности деформаций примет вид

                                             (4)

Отсюда выразим N ₁ через N ₂

                         (5)

Подставим значение N ₁ из (5) в (1).

Определяем s_1F и s_2F:

,

3. Влияние температурного воздействия (определение температурного напряжения).

При нагреве второго стержня в нем возникает сжимающее усилие, так как жесткая балка, поддерживаемая стержнем 1, препятствует его свободному удлинению. Стремясь удлиниться, второй стрежень давит на жесткую балку и вызывает растяжение первого стержня.

Вычерчиваем расчетную схему для составления уравнений равновесия (рис. 1.3.5).

Рис. 1.3.5. Расчетная схема

 

Из трех уравнений равновесия для решения поставленной задачи достаточно составить уравнение моментов относительно точки D.

                                            (6)

Для составления уравнения совместности деформаций строим схему перемещений, происходящих в системе в результате нагрева второго стержня на величину  (рис. 1.3.6).

Рис. 1.3.6. Схема перемещений

 

На рис. 1.3.6:  – деформация стержня 1;  – величина, на которую удлинился бы стержень 2, если бы ему не мешал стержень 1;  – величина, на которую сжался стержень 2 при возникновении в нем внутреннего усилия N ₂;  – величина деформации стержня 2.

Жесткий брус поворачивается против часовой стрелки. Из подобия треугольников СС ₁ D и АА ₁ D следует (см. подробно пункт 2), что

                                                  (7)

Из рис. 1.3.6 следует, что:

.                                                 (8)

Подставим значение D l ₂ из (8) в (7):

.                                       (9)

Отсюда выразим N ₁ через N ₂.

,

т.к.

                                  (10)

Подставим значение N ₁ из (10) в (6):

                            (11)

.

Знак «+», полученный в N ₁ и N ₂, говорит о том, что мы угадали направление N ₁ и N ₂. Стержень 1 подвергается деформациям растяжения, а стержень 2 – сжатия.

Определяем  и

4. Влияние неточности изготовления стержня (определение монтажных напряжений)

При сборке системы (стержень 1 на 1мм короче требуемого размера) в первом стержне возникают растягивающие усилия, так как жесткая балка, поддерживаемая стержнем 2, препятствует соединению стержня 1 с шарниром А. При стремлении соединить стержень 1 с шарниром А жесткая балка давит на стержень 2, вызывая в нем сжимающие усилия.

Вычерчиваем расчетную схему для составления уравнений равновесия (1.3.7).

Рис. 1.3.7. Расчетная схема

 

Из трех уравнений равновесия для решения поставленной задачи достаточно составить уравнение моментов относительно точки D.

                                            (12)

Для составления уравнения совместности деформаций строим схему перемещений, происходящих в системе при ее сборке из-за прочности изготовления стержня 1 (рис. 1.3.8).

D l 2

Рис. 1.3.8. Схема перемещений

 

На рис. 1.3.85: D l ₁ – перемещение шарнира A при сборке системы; – величина деформации стержня 1; D l ₂ – величина деформации стержня 2; D – величина, на которую стержень 1 был изготовлен короче требуемого размера.

Жесткий брус поворачивается по часовой стрелке. Из подобия треугольников СС ₁ D и AA ₁ D следует, что

                                           (13)

                                           (14)

Подставим значение D l ₁ из (14) в (13):

                                         (15)

Выразим N ₁ через N ₂

                                  (16)

Подставим значение N ₁ из (16) в (12)

,

.

Определяем значение s_1м и s_2м.

5. Определяем действие напряжений в стержнях.

(стержень растянут).

(стержень сжат).

 

 

Задача 1.4