Раздел 3. Дифференциальное исчисление.

Раздел 3. Дифференциальное исчисление.

Тема3.1 Производная функции

Определение производной

Для решения многих задач требуется найти разность значений функции в двух точках. Так, средняя скорость материальной точки за промежуток времени Δt равна:

.

Если рассматриваемое движение не является равномерным, то чем меньше выбран промежуток времени Δt, тем лучше указанная формула будет характеризовать движение точки. В идеале мы получаем понятие мгновенной скорости v: это предел, к которому стремится средняя скорость, когда Δt → 0, то есть:

.

Рассмотрим поведение графика функции y=sinx в окрестности точки x=0. Если увеличивать масштаб графика, то кривизна графика становится все меньше и меньше, а сам график приближается к графику прямой y=x.

Эти и другие задачи приводят к понятию производной.

 

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х0 и существует конечный предел отношения при Δ x→0. Тогда этот предел называется производной функции в точке х0 : Производная функции y=f(x) может также обозначаться одним из следующих способов:

В физике производную по времени t часто обозначают точкой:

Если приращение функции f(x₀+Δx)–f(x₀) обозначить как Δ y, то определение можно записать так:

Из определения производной и предела функции следует, что , где α (Δ x) – бесконечно малая функция при Δ x →0.

Операция вычисления производной называется дифференцированием. Функция называется дифференцируемой в данной точке, если в этой точке существует ее производная.

Правила дифференцирования

Если C — постоянное число и — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

Производная сложной функции

Сложная функция (композиция функций) записывается в виде

где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом (если функций больше, то промежуточным аргументом) для внешней функции f. Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция также дифференцируема по x и ее производная равна

Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Важно, однако, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции - в точке u = g(x)! Эта формула легко обобщается на случай, когда сложная функция состоит из нескольких "слоев", вложенных иерархически друг в друга.

Производные элементарных функций

Функция	Производная	Функция	Производная
Постоянная		Тригонометрические
Степенная
Логарифмическая В частности		Обратные тригонометрические
Показательная В частности

Таблица производных функций, аргументом которой является функция.

Функция	Производная	Функция	Производная

Производные высшего порядка

Пусть y = f (x) является дифференцируемой функцией. Тогда производная также представляет собой функцию от x. Если она является дифференцируемой функцией, то мы можем найти вторую производную функции f, которая обозначается в виде

Аналогично, если f '' существует и дифференцируема, мы можем вычислить третью производную функции f:

Производные более высокого порядка (если они существуют), определяются как

Примеры.

а) Найти производную сложной функции .

Решение.

Здесь мы имеем дело с композицией трех функций, из которых внешней является тангенс. Производная тангенса равна  

Тогда

б) Продифференцировать функцию  

Решение.

Сначала найдем производную произведения:

Далее, по формуле производной сложной функции

 

в) Определить производную функции .

Решение.

Применим формулы производной сложной функции и производной частного.

г) Найти y'', если .

Решение.

Возьмем первую производную дифференцируя функцию как произведение.

Теперь найдем производную второго порядка

д) Вычислить производную степенно-показательной функции

Решение.

Прологарифмируем заданную функцию:

Вычислим производную, воспользовавшись формулой производной произведения и производной сложной функции:

Выразим производную заданной функции:

.

е) Вычислить производную функции с помощью логарифмического дифференцирования

 .

Решение.

Прологарифмируем функцию:

Преобразуем выражение с помощью свойств логарифмов:

;

Продифференцируем полученное равенство

.

Выразим производную заданной функции:

.

Раздел 3. Дифференциальное исчисление.

Тема3.1 Производная функции

Определение производной

Для решения многих задач требуется найти разность значений функции в двух точках. Так, средняя скорость материальной точки за промежуток времени Δt равна:

.

Если рассматриваемое движение не является равномерным, то чем меньше выбран промежуток времени Δt, тем лучше указанная формула будет характеризовать движение точки. В идеале мы получаем понятие мгновенной скорости v: это предел, к которому стремится средняя скорость, когда Δt → 0, то есть:

.

Рассмотрим поведение графика функции y=sinx в окрестности точки x=0. Если увеличивать масштаб графика, то кривизна графика становится все меньше и меньше, а сам график приближается к графику прямой y=x.

Эти и другие задачи приводят к понятию производной.

 

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х0 и существует конечный предел отношения при Δ x→0. Тогда этот предел называется производной функции в точке х0 : Производная функции y=f(x) может также обозначаться одним из следующих способов:

В физике производную по времени t часто обозначают точкой:

Если приращение функции f(x₀+Δx)–f(x₀) обозначить как Δ y, то определение можно записать так:

Из определения производной и предела функции следует, что , где α (Δ x) – бесконечно малая функция при Δ x →0.

Операция вычисления производной называется дифференцированием. Функция называется дифференцируемой в данной точке, если в этой точке существует ее производная.