Свойства дифференциала функции.

Дифференциал обладает свойствами, аналогичными свойствам производной:

Формулы 1 – 4 получаются из соответствующих формул для производной умножением обеих частей каждого равенства на

Рассмотрим дифференциал сложной функции. Пусть y сложная функция x:  Дифференциал  этой функции, используя формулу для производной сложной функции, можно записать в виде

.

Но  есть дифференциал функции u, поэтому  т. е.

Здесь дифференциал записан в том же виде, как и в формуле для дифференциала функции независимой переменной x, т. е.   хотя аргумент u является не независимой переменной, а функцией x.

Следовательно, выражение дифференциала функции в виде произведения производной этой функции на дифференциал её аргумента справедливо независимо от того, является ли аргумент независимой переменной или функцией другой переменной. Это свойство называется инвариантностью (неизменностью) формы дифференциала.

С формально-технической точки зрения найти дифференциал функции – это «почти то же самое, что найти производную».

Пример.

Найти дифференциал функции

Решение. Перед тем, как находить производную или дифференциал, всегда целесообразно посмотреть, а нельзя ли как-нибудь упростить функцию (или запись функции) ещё до дифференцирования? В данном случае можно преобразовать корень и выполнить почленное деление аргумента синуса:

Функция сложная. Найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции два раза:

Запишем дифференциал, при этом снова представим  в первоначальном виде:

Когда производная представляет собой дробь, значок  обычно «прилепляют» в самом конце числителя (можно и справа на уровне дробной черты).

Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

Выше было показано, что приращение функции представимо в виде:

 где функция является бесконечно малой функцией при стремлении аргумента к нулю. Так как  то

В силу того, что второе слагаемое  является бесконечно малым, то им можно пренебречь, а поэтому  

А так как нахождение дифференциал значительно проще, чем нахождение приращения функции, то данная формула активно используется на практике.

Для приближенного вычисления значения функции применяется следующая формула:

Пример.  Вычислить приближенно arctg 1,02, заменяя приращение функции ее дифференциалом.

Решение. Рассмотрим функцию  Необходимо вычислить ее значение в точке . Представим данное значение в виде следующей суммы:  Величины  и  выбираются так, чтобы в точке  можно было бы достаточно легко вычислить значение функции и ее производной, а  было бы достаточно малой величиной. С учетом этого, делаем вывод, что  т.е.

Вычислим значение функции  в точке .

Далее продифференцируем рассматриваемую функцию и найдем значение в точке

Итак,