Динамика вращательного движения твёрдого тела.

9. Момент силы. Момент импульса материальной точки и системы частиц.

Момент силы — векторная физическая величина, равная произведению радиус-вектора, проведенного от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.

Момент импульса характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Чтобы рассчитать момент импульса тела, его надо разбить на бесконечно малые кусочки и векторно просуммировать их моменты как моменты импульса материальных точек, то есть взять интеграл:

                                                 (7.1)

где  - знак векторного произведения.

Момент импульса материальной точки относительно точки O определяется векторным произведением                                                                               (7.2)

где — радиус-вектор, проведенный из точки O,

  — импульс материальной точки.

Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси L_z равен проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки O данной оси. Значение момента импульса L_x не зависит от положения точки O на оси z.

М = Fd — момент силы равен произведению величины силы на ее плечо.

10. Законы сохранения и изменения момента импульса системы.

Закон изменения момента импульса.

Рассмотрим произвольную систему тел. Моментом импульса системы назовем величину L, равную векторной сумме моментов импульсов отдельных ее частей L_i, взятых относительно одной и той же точки выбранной системы отсчета.

L = ΣL_i.                                                         (8.1)

Найдем скорость изменения момента импульса системы. Получим, что скорость  изменения момента импульса системы равна векторной сумме моментов внешних сил M, действующих на части этой системы.

dL/dt = M.                                                                   (8.2)

Причем вектора L и M задаются относительно одной и той же точки O в выбранной СО. Уравнение (8.2)представляет собой закон изменения момента импульса системы.

Причиной изменения момента импульса является действующий на систему результирующий момент внешних сил. Изменение момента импульса за конечный промежуток времени можно найти, воспользовавшись выражением

 

L =                                                   (8.2)     

 

Приращение момента импульса системы равно импульсу результирующего момента внешних сил, действующих на нее.

В неинерциальной системе к моменту внешних сил необходимо прибавить момент сил инерции относительно выбранной точки O.

Закон сохранения момента импульса системы:

момент импульса системы тел сохраняется неизменным при любых взаимодействиях внутри системы, если результирующий момент внешних сил, действующих на нее, равен нулю.

Закон сохранения момента импульса является фундаментальным законом природы и выполняется для любых, а не только механических систем.

11. Момент инерции материальной точки и твёрдого тела. Теорема Штейнера.

Моментом инерции материальной точки относительно оси  вращения называется произведение массы этой точки на квадрат расстояния от оси.

                                                           (9.1)

Моментом инерции системы (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс m материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси. 

                                                      (9.2)    

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

  

 =                                           (9.3)  

 где интегрирование производится по объему тела.

Главный момент инерции - момент инерции относительно главной оси вращения, проходящей через центр масс.

Момент инерции тела зависит от того, относительно какой оси оно вращается и как распределена масса тела по объему.
Моменты инерции однородных тел массой т, имеющих правильную геометрическую форму и равномерное распределение массы по объёму:

Тело	Положение оси вращения	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиуса R	Ось симметрии	mR2
Сплошной цилиндр или диск радиуса R	Ось симметрии
Прямой тонкий стержень длиной I	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину
Шар радиусом R	Ось проходит через центр шара

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера.

Момент инерции тела J относительно произвольной оси z равен сумме момента его инерции Jc относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, и произведения массы m тела на квадрат расстояния а между осями

                                                           (9.3)  

12. Уравнение динамики вращательного движения вокруг фиксированной оси.

При повороте тела под действием силы на бесконечно малый угол  точка приложения силы А проходит путь и работа равна

                                  (10.1) 

Работа вращения тела идет на увеличение его кинетической энергии

                           (10.2)                         

Тогда

                                                     (10.3) 

или

=                                              (10.3)                 

откуда следует уравнение динамики вращательного движения твердого тела:

=                                                      (10.4)                 

Если ось вращения совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство , где J - главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).

13. Работа момента сил. Кинетическая энергия вращательного движения твёрдого тела и е ё вклад в полную механическую энергию.

Если сила совершает действие на каком-либо расстоянии, то она совершает механическую работу. Так же и момент силы, если совершает действие через угловое расстояние, он совершает работу.

                                                                    (11.1)                 

Отношение между моментом силы и работой

                                                               (11.2)                   

В случае постоянного момента получаем:

                                                                   (11.3)                 

В системе СИ работа измеряется в джоулях, момент силы — в ньютон·метр, а угол — в радианах.

Обычно известна угловая скорость в радианах в секунду и время действия момента .

Тогда совершенная моментом силы работа рассчитывается как:

                                                              (11.4)                    

Абсолютно твердое тело — механическая система, обладающая только поступательными и вращательными степенями свободы. «Твёрдость» означает, что тело не может быть деформировано, то есть телу нельзя передать никакой другой энергии, кроме кинетической энергии поступательного или вращательного движения.

Для абсолютно твёрдого тела полную кинетическую энергию можно записать в виде суммы кинетической энергии поступательного и вращательного движения:

                                                         (11.5)                                 

где: — масса тела

   — скорость центра масс тела

  — момент инерции тела

ω — угловая скорость тела.