Общая теорема о повторении опытов. Производящая функция.

Если производятся n независимых опытов в различных условиях, причем вероятность появления события А в i-м опыте равна  то вероятность Р того, что событие А в n опытах появится m раз, равна коэффициенту при Z в разложении по степеням Z производящей функции  где

 

Функция распределения случайной величины.

Рассмотрим дискретную случайную величину Х со своими значениями, каждое из которых является возможным, но не равновозможным: p(x1)=p1 … p(xn)=pn. Сумма pi=1- критерий сходимости.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, которое связывает между собой значения всякой величины и ее вероятности.

X	x1	x2	…	xn
P	p1	p2	…	pn

Функция распределения:

Для непрерывной случайной величины невозможно составить закон распределения, поэтому для количественной характеристики удобно пользоваться не вероятностью отдельного события Х, а вероятностью события Х<x, где х – некоторая текущая переменная. Эти вероятности образуют некоторую функцию оси X.

F(x)=F(X<x)- интегральный закон распределения.

Свойства:

1. Функция F(x)-неубывающая функция.

Любой x2>x1 => F(x2)≥F(x1).

Д-во: Пусть х2>х1. Событие, состоящее в том, что Х примет значение, меньшее х2, можно подразделить на 2 несовместных события:

1) Х примет значение, меньшее х1, с вероятностью Р(Х<x1)

2) Х примет значение, удовлетворяющее неравенству x1≤X<x2, с вероятностью Р(x1≤X<x2).

По теореме сложения имеем

P(X<x2)=P(X<x1)+P(x1≤X<x2). Отсюда: P(X<x2)-P(X<x1)= P(x1≤X<x2) или F(x2)-F(x1)=P(x1≤X<x2). Так как любая вероятность есть число неотрицательное, то F(x2)-F(x1)≥0, или F(x2)≥F(x1), чтд.

2. F(-∞)=0

3. F(∞)=1

4. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0;1]

0≤F(x)≤1

Д-во: Свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность всегда есть неотрицательное число, не превышающее 1.

 

Функция распределения есть вероятность того, что случайная величина X, в результате нашего опыта попадает левее т. х.

Для дискретных случайных величин также можно составить функцию распределения:

F(x)=P(X<x)= .

Вероятность попадания случайной величины на заданный участок.

P(α≤x≤β)=F(β)-F(α).

Вероятность попадания для непрерывной случайной величины в любое отдельное значение =0.

 

Плотность распределения.

Плотность распределения - производная абсолютно непрерывной функции распределения.

P(x<X<x+∆x)=F(x+∆x)-F(x)

 

 

P(α<x<β)=

F(x)=P(X<x)=P(-∞<X<x)

F(x)=

Основные свойства плотности распределения:

1. f(x)≥0

Д-во: Функция распределения – неубывающая функция, следовательно, ее производная – функция неотрицательная.

2. =1

Несобственный интеграл  выражает вероятность события, состоящего в том, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу(-∞;∞). Очевидно, такое событие достоверно, следовательно, вероятность его равна 1.

Эти 2 свойства геометрически определяют то, что кривая распределения всегда лежит выше оси Ох и площадь под кривой равна 1.