Зависимые и независимые случайные величины.

2 случ величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.

Следовательно, условные распределения независимых величин равны их безусловным распределениям.

Теорема: Для того, чтобы случайные величины X и Y были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы (X, Y) была равна произведению функций распределения составляющих:

F(x, y)=F1(x)F2(y)

Доказательство: а) необходимость. Пусть X, Y –независимы, тогда X<x, Y<y тоже независимы и P(X<x, Y<y)=P(X<x)P(Y<y); F(x,y)=F1(x)F2(y).

б) Достаточность: Пусть F(x, y)=F1(x)F2(y) => P(X<x, Y<y)=P(X<x)P(Y<y) => X, Y- независимы.

Следствие: Для того, чтобы непрерывные случайные величины X и Y были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного распределения системы (X, Y) была равна произведению плотностей распределения составляющих:

f(x, y)=f1(x)f2(y)

Доказательство: а) необходимость. Пусть X и Y – независимые непрерывные случайные величины. Тогда F(x,y)=F1(x)F2(y). Дифференцируя это равенство по x, затем по y, имеем:

 или f(x, y)=f1(x)f2(y).

б) достаточность: Пусть f(x, y)=f1(x)f2(y). Интегрируя по х, затем по у, получим

 или F(x,y)=F1(x)F2(y). => X, Y – независимы.

Метод наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов (МНК) - метод оценки параметров модели на основании экспериментальных данных, содержащих случайные ошибки. В основе метода лежат следующие рассуждения: при замене точного (неизвестного) параметра модели приблизительным значением необходимо минимизировать разницу между экспериментальными данными и теоретическими (вычисленными при помощи предложенной модели). Это позволяет рассчитать параметры модели с помощью МНК с минимальной погрешностью.

Мерой разницы в методе наименьших квадратов служит сумма квадратов отклонений действительных (экспериментальных) значений от теоретических. Выбираются такие значения параметров модели, при которых сумма квадратов разностей будет наименьшей – отсюда название метода:

 = min

где Y – теоретическое значение измеряемой величины, y – экспериментальное.

При этом полученные с помощью МНК параметры модели являются наиболее вероятными.

Метод наименьших квадратов, а также его различные модификации (нелинейный МНК, взвешенный МНК и т.д.) широко используется в аналитической химии, в частности, при построении градуировочной модели. Как правило, предполагается линейная зависимость (параметры которой требуется установить) между аналитическим сигналом и содержанием определяемого вещества. В этом случае метод наименьших квадратов позволяет оптимизировать параметры градуировки (и получить наименьшую погрешность анализа), а сумма квадратов разностей теоретического и экспериментального значения аналитического сигнала является мерой погрешности градуировки и линейно связана с так называемой остаточной дисперсией (дисперсией адекватности модели)