Маятник под воздействием силы тяжести и силы электростатического взаимодействия

Введение

 

Комбинированный осциллятор - маятник, находящийся под воздействием нескольких сил различной физической природы, обеспечивающих возвращение отклоненного тела к одному и тому же положению устойчивого равновесия. Будем считать, что осциллятор совершает одномерные движения. Поэтому комбинацию математического маятника и пружинного маятника, показанную на рис. 1, рассматривать не будем, поскольку здесь меняются как угол отклонения, так и длина маятника. Это колебания с двумя степенями свободы.

 

Рисунок.1 - Математический маятник на упругом подвесе: -

 

 - силы, действующие на маятник,  - коэффициент жесткости пружины,  - сила упругости пружины,  - ускорение свободного падения.

Таким образом, целью данной работы является изучение одномерных колебаний комбинированного маятника.

В работе рассматриваются различные примеры комбинированных маятников, а также проводятся численные расчеты и построение фазовой траектории комбинированного маятника из лабораторной работы.

Цель работы: изучить движения комбинированного осциллятора и рассмотреть различные примеры комбинированных осцилляторов.

Задачи: получить соотношение для частоты колебаний комбинированного осциллятора и построить график движения осциллятора, фазовую траекторию и примерный спектр колебаний.

 

Примеры комбинированных маятников, расчет частоты колебаний

Список использованных источников

колебание комбинированный осциллятор

1. Савельев И.В. Курс общей физики т.2: учебное пособие/ И.В. Савельев. - Москва: Наука, 1988. - 496 с.

. Сивухин Д.В. Курс общей физики т.2 Электричество: учебное пособие/ Д.В Сивухин. - Москва: Наука, 1974. - 519 с.

. Ландау Л.Д. Механика./ Л.Д. Ландау, Е.М. Лившиц. - Москва: Наука, 1965. - 204 с.

. Гречихин Л.И. Колебания и волны: учебное пособие/ Л.И. Гречихин, Н.И. Козарь, Н.И. Павлова. - Минск: МВИЗРУ ПВО, 1973. - 129 с.

Введение

 

Комбинированный осциллятор - маятник, находящийся под воздействием нескольких сил различной физической природы, обеспечивающих возвращение отклоненного тела к одному и тому же положению устойчивого равновесия. Будем считать, что осциллятор совершает одномерные движения. Поэтому комбинацию математического маятника и пружинного маятника, показанную на рис. 1, рассматривать не будем, поскольку здесь меняются как угол отклонения, так и длина маятника. Это колебания с двумя степенями свободы.

 

Рисунок.1 - Математический маятник на упругом подвесе: -

 

 - силы, действующие на маятник,  - коэффициент жесткости пружины,  - сила упругости пружины,  - ускорение свободного падения.

Таким образом, целью данной работы является изучение одномерных колебаний комбинированного маятника.

В работе рассматриваются различные примеры комбинированных маятников, а также проводятся численные расчеты и построение фазовой траектории комбинированного маятника из лабораторной работы.

Цель работы: изучить движения комбинированного осциллятора и рассмотреть различные примеры комбинированных осцилляторов.

Задачи: получить соотношение для частоты колебаний комбинированного осциллятора и построить график движения осциллятора, фазовую траекторию и примерный спектр колебаний.

 

Примеры комбинированных маятников, расчет частоты колебаний

Маятник под воздействием силы тяжести и силы электростатического взаимодействия

 

Рассмотрим следующую задачу. Положительный заряд q сосредоточен на материальной точке массой m, которая подвешена в вакууме на невесомой нерастяжимой непроводящей нити длины l на высоте h над проводником (электропроводность которого бесконечна), занимающим нижнее полупространство. Граница раздела вакуума и металла - плоскость. Материальную точку отклоняют на малый угол от положения устойчивого равновесия. Найти собственную частоту колебаний такого комбинированного осциллятора.

Принять AB = BC = h; AD = Δh; l =  ç ç- длина нити; - радиус-вектор, проведенный из точки О в точку Р.

Рисунок 2 - Заряженная материальная точка, колеблющаяся над проводящим полупространством: - - сила тяжести,  - сила Кулона,  - скорость маятника,  - сила натяжения нити,  - момент сил, действующих на маятник,  - угловая скорость маятника, Ме - металлическая пластина, С - точка, в которой находится заряд-изображение, О - точка подвеса маятника, А - положение равновесия маятника, D - проекция положения маятника на вертикальную ось, α - угол отклонения от положения устойчивого равновесия, которое совпадает с прямой ОС.

 

На точку действуют сила тяжести, сила натяжения нити и сила электростатического (кулоновского) взаимодействия (рис. 2).

Рассмотрим подробнее силу кулоновского взаимодействия Fk.

Заряд +q перераспределяет свободные электроны проводника. В результате на поверхности раздела появляется отрицательный заряд по величине равный заряду q. Между исходным зарядом и наведенными зарядами возникает электростатическое взаимодействие. При колебаниях поверхностные заряды будут перемещаться, возникнут токи, что приведет к выделению джоулева тепла и магнитному взаимодействию. Однако, в хорошем металлическом проводнике (с бесконечной электропроводностью) при малых скоростях движения зарядов этими явлениями можно пренебречь.

Величину и направление кулоновской силы можно найти из сравнения картины силовых линий электрического диполя и картины силовых линий заряда, подвешенного над идеальным проводником. Силовые линии входят в проводник под прямым углом и их густота тем больше, чем ближе точка на поверхности проводника к точке B, лежащей на оси симметрии картины. Таким образом, картина силовых линий для рассматриваемого случая аналогична картине силовых линий диполя с расстоянием между положительным и отрицательным точечными зарядами равным 2h. Тогда Fk = для оси симметрии. Это поле неоднородно, но для малых колебаний момент кулоновской силы, как и момент силы тяжести можно считать пропорциональным углу α.

При отклонении нити на угол α материальная точка поднимается на высоту Δh = l(1 - cos α). Это приводит к изменению величины силы Fk:

 

Fk = .

 

где  - постоянная кулоновского взаимодействия ,  - высота маятника над плоскостью .

Однако, при малых колебаниях, когда с достаточной точностью выполняется равенство

 

, при , где :

 << 1 т.е.  << 1,

 

так как при малых

.

силу кулоновского взаимодействия заданного заряда и наведенных поверхностных зарядов можно считать неизменной.

Момент инерции маятника (относительно оси вращения О параллельной поверхности идеального проводника)

J0 = ml2,

где l - длина нити ,  - масса маятника ,  - момент инерции маятника .

Момент сил, действующих на материальную точку

 

N = (mg + Fk)lsinα. (1)

 

где PD = l sinα - плечо действующих сил ,  - момент сил . Сам вектор  направлен перпендикулярно плоскости чертежа, а знак проекции определяется углом .

Связь между векторами скорости, угловой скорости и вектором  направленным от центра вращения по радиусу к материальной точке задается соотношением:

 

 = [ , ],

 

где  - вектор скорости тела ,  - угловая скорость тела ,  - вектор, задающий положение тела, .

Если скорость материальной точки направлена влево, то угловая скорость  и момент импульса  = J0 направлены против момента сил . Поэтому основное уравнение динамики вращательного движения (уравнение моментов) запишется в виде

 

J0α" = - (mg + Fk) lsinα, (2)

 

где  угловое ускорение .

Тогда из (2) с учетом малости колебаний (sin α ≈α) получаем

 

α" + lα = 0.

 

В соответствии со стандартными обозначениями ω02 = , где ω0 собственная частота . Если бы заряда на материальной точке не было, то ω012 = mg/J0. Если бы можно было «отключить» силу тяжести, то ω022 = Fk/J0. Поэтому мы можем записать ω02 = ω012 + ω022. Если бы возвращающий момент обеспечивали n сил различной физической природы, то

 

. (3)

 

где  - собственная частота колебаний маятника, движущегося только под действием силы .

Разумеется, это соотношение верно только для малых колебаний.

Рассмотрим еще несколько примеров, подтверждающих справедливость (3).