Колебания маятника с затуханием

 

Примем следующие параметры системы:

 - длина нити;

 - поверхностная плотность заряда плоскости;

 - заряд шарика;

 - масса шарика;

Частота колебаний, связанная с гравитационным взаимодействием:

 

.

 

Частота колебаний, связанная с электростатическим взаимодействием:

 

.

 

Собственная частота комбинированных колебаний:

 

.

 

Коэффициент затухания примем равным: .

Рассмотрим возможные причины затухания колебаний заряда над металлической поверхностью. Колебания в данной системе проходит из-за изменения величины электрического дипольного момента системы состоящей из заряженного шарика и его изображения в металле. Это потери на излучение электромагнитных волн. При малых частотах колебаний эти потери незначительны, так как мощность, излучаемая в виде электромагнитных волн пропорциональна четвертой степени частоты. При малых частотах потери на излучение сравнимы или даже меньше потерь на работу против сил вязкого трения маятника о воздух.

Частота затухающих колебаний осциллятора:

 

.

 

Если начальное отклонение шарика: , то уравнение затухающих колебаний шарика имеем вид:

 

.

 

Зависимость угловой скорости осциллятора от времени:

 

.

 

По полученным уравнениям колебаний составляем таблицу расчетных значений для построения фазовой траектории и графика колебаний.

 

Таблица 1.

Зависимости угла поворота  и угловой скорости  комбинированного маятника от времени (

t,c	, рад , рад/ct,c , рад , рад/c
0	0,2	-0,04	9,8	0,014962	-0,09728
0,2	0,135249	-0,56622	10	-0,00617	-0,10286
0,4	-0,0017	-0,72889	10,2	-0,02216	-0,04932
0,6	-0,12715	-0,46313	10,4	-0,02427	0,028247
0,8	-0,1704	0,046471	10,6	-0,01237	0,083734
1	-0,11309	0,490374	10,8	0,005673	0,087174
1,2	0,004343	0,62033	11	0,019095	0,040606
1,4	0,110271	0,386321	11,2	0,020589	-0,02555
1,6	0,145131	-0,05014	11,4	0,010219	-0,07204
1,8	0,094496	-0,42443	11,6	-0,00518	-0,07385
2	-0,00617	-0,52776	11,8	-0,01644	-0,03338
2,2	-0,09557	-0,32199	12	-0,01746	0,023029
2,4	-0,12357	0,051695	12,2	-0,00843	0,061958
2,6	-0,0789	0,36715
2,8	0,007355	0,448848
3	0,082782	0,268142
3,2	0,105173	-0,05168
3,4	0,065828	-0,31742
3,6	-0,00805	-0,3816
3,8	-0,07166	-0,2231
4	-0,08949	0,050521
4,2	-0,05488	0,274279
4,4	0,008384	0,324324
4,6	0,061998	0,185455
4,8	0,076112	-0,04856
5	0,04571	-0,23688
5,2	-0,00844	-0,27555
5,4	-0,05361	-0,15401
5,6	-0,06471	0,046064
5,8	-0,03804	0,20447
6	0,00829	0,234022
6,2	0,046328	0,127764
6,4	0,055006	-0,04323
6,6	0,031629	-0,17641
6,8	-0,008	-0,19869
7	-0,04002	-0,10588
7,2	-0,04674	0,040214
7,4	-0,02627	0,152124
7,6	0,00761	0,168625
7,8	0,034545	0,087636
8	0,039697	-0,03713
8,2	0,021801	-0,13112
8,4	-0,00716	-0,14306
8,6	-0,02981	-0,07245
8,8	-0,03371	0,034074
9	-0,01807	0,112965
9,2	0,006674	0,12133
9,4	0,025708	0,059819
9,6	0,028609	-0,0311

 

Изобразим данный колебательный процесс графически.

 

 

Рисунок 6 - График затухающих колебаний комбинированного осциллятора при , .

 

 

Рисунок 7 - Фазовая траектория комбинированного осциллятора при , .

Изобразим примерный спектр колебаний, учитывая, что частота колебаний, равна . Из-за наличия затухания такой спектр будет иметь колоколообразную форму с максимум на частот колебаний.

 

Рисунок 8 - Примерный спектр комбинированного осциллятора при , .

 

Построенные графики указывают основные закономерности колебаний комбинированных маятников с затуханием.

 

Выводы

 

На основании проделанной работы можно сделать следующие выводы:

. Колебания комбинированного осциллятора описываются теми же уравнениями, что и колебания осциллятора, находящегося под действием одной силы.

. Частота малых колебаний комбинированного осциллятора определяется как корень из суммы квадратов частот, с которыми бы колебался маятник, если бы на него действовали бы силы различной природы в отдельности..

. В работе был произведен численный расчет конкретного осциллятора с построением графика колебаний, фазовой траектории и спектра колебаний.