Волновая функция и ее статистический смысл

    Трудности в описании состояния микрочастиц методами классической физики привели к новому этапу в развитии квантовой теории, описывающей законы движения и взаимодействия микрочастиц с учетом их волновых свойств. Ее создание и развитие охватывает период с 1900 г. до 30-ых годов и связано с работами австр. ученого Шредингера (1887-1961), нем. ученого В. Гейзенберга и англ. физика П. Дирака (1902-1984).

    Классическая механика с помощью своих уравнений движения позволяет найти в любой момент времени состояние системы – положения, скорости, энергии, если заданы их значения в начальный момент времени. Аналогичную задачу нахождения состояния системы по начальному состоянию решает и квантовая механика, однако специфические особенности микрочастиц приводят к тому, что методы теоретического анализа и уравнения квантовой механики в корне отличаются от уравнений классической механики. Отличительной особенностью квантовой механики является вероятностный подход к описанию состояния микрочастицы. Можно ли волны де Бройля рассматривать как волны вероятности нахождения частицы в пространстве? В 1926 г. нем. физик М. Борн (1882-1970) предположил, что по волновому закону изменяется не сама вероятность, а величина, названная амплитудой вероятности и обозначаемая как . Эту функцию называют волновой функцией (или Ψ-функцией). Амплитуда вероятности (Ψ-функция) может быть комплексной, а величина вероятности W пропорциональна квадрату ее модуля

,

где Ψ*- функция, комплексно сопряженная с . Таким образом, волновая функция имеет статистический (вероятностный) смысл: квадрат модуля волновой функции определяет вероятность нахождения микрочастицы в единице объема в момент времени t в окрестности точки с координатами х,у, z. Вероятность нахождения микрочастицы в элементе объема dV равна

,

а величина - квадрат модуля волновой функции определяет вероятность нахождения микрочастицы в единице объема в момент времени t в окрестности точки с координатами х,у, z. Вероятность найти микрочастицу в момент времени t в конечном объеме V равна

.

    Поскольку определяется как вероятность, то она должна быть нормирована так, чтобы вероятность достоверного события обращалась в единицу, если за объем принять объем всего бесконечного пространства

,                                         (63)

где  - элементарный объем пространства.

Из вышеизложенных особенностей волновой функции следует ряд условий, которым должна удовлетворять волновая функция: она должна быть конечной, однозначной, непрерывной и квадратично-интегрируемой функцией.

    Волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции состояний: если система может находиться в различных состояниях, описываемых волновыми функциями Ψ₁,Ψ₂,...,Ψ_n то она может находиться в состоянии, описываемом их линейной комбинацией

,

где с _n – произвольные (могут быть и комплексные) числа.

    Волновая функция, имея вероятностный смысл, позволяет вычислять средние значения величин, характеризующих данный микрообъект. Например, среднее расстояние электрона от ядра вычисляется по формуле

.

Общее уравнение Шредингера.