Принцип неразличимости тождественных частиц. Фермионы и бозоны

    В классической физике частицы можно различать по их положению в пространстве и импульсам. Если частицу выделить каким-либо образом, то можно проследить за траекторией и импульсом и в последующие моменты времени.

    В квантовой механике дело обстоит иначе. Из соотношения неопределенностей следует, что теряет смысл понятие траектории частицы, состояние частицы описывается волновой функцией, можно вычислять только вероятность местонахождения частицы в пространстве. Если волновые функции каких-либо двух тождественных частиц не перекрываются, то теряет смысл говорить о вероятности нахождения одной из частиц в данной области пространства. Принцип неразличимости частиц в квантовой механике является одним из основополагающих принципов.  

     Состояние системы, состоящей из тождественных частиц, в квантовой механике характеризуется некоторой полной волновой функцией, зависящей от координат всех частиц системы, или их спинов. Из принципа неразличимости тождественных частиц следует два типа полных волновых функций, описывающих состояние системы: симметричные и антисимметричные волновые функции. Их различие состоит в том, что первые не меняют свой знак при перестановке любой пары частиц в системе, а вторые – изменяют. Тип полной волновой функции системы зависит от направления проекции L_sz спинов частиц системы на направление внешнего магнитного поля и не изменяется при внешних воздействиях на систему. Электроны и другие частицы, имеющие спин ±1/2 , называются фермионами или частицами с полуцелым спином. Частицы, у которых L_sz равно четному числу±1/2 , называются бозонами или частицами с целым спином. Система тождественных фермионов описывается антисимметричной волновой функцией, система тождественных бозонов описывается симметричной волновой функцией.

 

    В системе тождественных бозонов в одном и том же

     состоянии может находиться сколь угодно большое

    число частиц.

    В системе  тождественных фермионов любые две

    частицы не могут находиться в одном и том же

     состоянии.

    Из последней  общей формулировки вытекает принцип Паули:

 

    В любом атоме не может быть двух электронов,

     находящихся в двух одинаковых стационарных

     состояниях, определяемых набором четырех

     квантовых чисел – главного n, орбитального l,

      магнитного m и спинового m_s.

                   Распределение электронов в атомах по состояниям

    Принцип Паули применительно к электронам в атоме можно выразить следующим образом:

 или 1,

где – число электронов, в состоянии, описываемом набором квантовых чисел . Максимальное число электронов  в состояниях с набором трех квантовых чисел  отличаются по спину +1/2 и -1/2 и

.

Максимальное число электронов , находящихся в состояниях с набором двух квантовых чисел равно

и приведено в табл.. Найдем, пользуясь принципом Паули максимальное число  в состояниях, определяемых главным квантовым числом . При заданном  квантовое число изменяется в пределах от 0 до  - 1, то

.

Таблица

      Значения орбит.квант. 0      1      2     3       4

      числа l

       Символ состояния       s      p      d     f        g

       электрона

       Максимальное. число  2     6      10    14    18

       электронов

 

       Для краткости речи электроны в атоме в зависимости от их квантовых чисел делят на слои, оболочки, подоболочки и т. д. Слои соотвктствуют главным квантовым числам и имеют следующие обозначения:

=1 К-слой, =2 L-слой, =3 M-слой,  = 4 N-cлой и далеет по английскому алфавиту.

    В таблице приведены максимальные числа электронов, находящихся в состояниях, характеризуемых числами n и l.

Таблица

                            Число электронов в состояниях                  Максимальное

   Слой                               (оболочках)                               число электронов

                        s            p           d            f          g           в слое

                     l= 0         l= 1        l= 2       l = 3      l =4

     K          2                                                                                   2

     L           2            6                                                                 8

     M          2            6          10                                            18

     N           2            6          10        14                           32

     O           2            6          10        14      18             50