Проверка          соответствия         эмпирического        распределения

Содержание

 

Введение………………………………………………………………………....3

1 Определение закона распределения вероятностей результата измерения………………………………………………………………….………......4

2 Проверка соответствия эмпирического распределения теоретическому…………………………………………………………….................13

Заключение...………………………………………………………………......17

          Список использованных источников………………………………………....18

 

Введение

Наука о получении количественной информации опытным путем называется метрологией. Опытным путем, т.е. экспериментально, количественная информация получается посредством измерений. Таким образом, метрология – наука о получении измерительной информации. Целью курсовой работы является закрепление знаний по основным разделам курса теоретической метрологии, а также практическое обучение методам анализа и обработки статистических данных.

Задание к курсовой работе: по данному объему выборки n, представляющей массив экспериментальных данных, определить закон распределения вероятностей результата измерения, т.е. вид функции распределения и ее параметры.

 

 

     1 Определение закона распределения вероятностей результатов измерения

1.1 Ранжирование значений выборки Х в порядке возрастания и представления в виде вариационного ряда (приложение А):

X₁ ≤X2≤……...≤Xn

1.2 Определение среднего арифметического значений выборки по

формуле (1):

                                                                                                              (1)

1.3 Определение несмещенной оценки дисперсии по формуле (2):

                                                                                             (2)

1.4 Определение среднего квадратического отклонения результата измерения по формуле (3):

                                                                                                          (3)

           

       Результаты вычислений сводим в таблицу 1.

1.5 Определение четвертого центрального момента  по формуле (4):

                                                                                                       (4)

 

1.6  Определение контрэксцесса  по формуле (5):

 

                                                                                                                      (5)

               

                      

Таблица 1- Вычисления среднего квадратического отклонения

x	m	X*m
1	2	3	4	5	6	7	8
-3,12	1	-3,12	-2,91	8,46	8,46	-24,64	71,71
-2,87	1	-2,87	-2,66	7,07	7,07	-18,82	50,06
-2,70	1	-2,70	-2,49	6,19	6,19	-15,44	38,44
-2,59	2	-5,18	-2,38	5,66	11,31	-26,96	64,17
-2,54	1	-2,54	-2,33	5,42	5,42	-12,65	29,47
-2,05	1	-2,05	-1,84	3,38	3,38	-6,23	11,46
-2,04	1	-2,04	-1,83	3,34	3,34	-6,13	11,22
-1,99	1	-1,99	-1,78	3,16	3,16	-5,64	10,04
-1,93	1	-1,93	-1,72	2,95	2,95	-5,09	8,75
-1,92	1	-1,92	-1,71	2,92	2,92	-5,00	8,55
-1,88	2	-3,76	-1,67	2,78	5,57	-9,31	15,56
-1,80	1	-1,80	-1,59	2,52	2,52	-4,02	6,39
-1,79	1	-1,79	-1,58	2,49	2,49	-3,94	6,23
-1,75	1	-1,75	-1,54	2,37	2,37	-3,65	5,62
-1,72	1	-1,72	-1,51	2,27	2,27	-3,44	5,20
-1,69	2	-3,38	-1,48	2,19	4,37	-6,48	9,60
-1,65	1	-1,65	-1,44	2,07	2,07	-2,99	4,30
-1,64	2	-3,28	-1,43	2,04	4,08	-5,85	8,36
-1,63	1	-1,63	-1,42	2,01	2,01	-2,86	4,07
-1,61	1	-1,61	-1,40	1,95	1,95	-2,74	3,84
-1,60	1	-1,60	-1,39	1,93	1,93	-2,69	3,73
-1,59	1	-1,59	-1,38	1,90	1,90	-2,63	3,63
-1,57	1	-1,57	-1,36	1,84	1,84	-2,52	3,42
-1,55	1	-1,55	-1,34	1,79	1,79	-2,41	3,22
-1,53	1	-1,53	-1,32	1,74	1,74	-2,30	3.04
-1,46	1	-1,46	-1,25	1,56	1,56	-1,95	2,44
-1,39	1	-1,39	-1,18	1,39	1,39	-1.64	1,94
-1,37	3	-4,11	-1,16	1,34	4,02	-4,68	5,43
-1,36	1	-1,36	-1,15	1,32	1,32	-1,52	1,75
-1,32	1	-1,32	-1,11	1,23	1,23	-1,37	1,52
-1,26	1	-1,26	-1,05	1,10	1,10	-1,16	1,22
-1,25	1	-1,25	-1,04	1,08	1,08	-1,12	1,17
-1,24	1	-1,24	-1,03	1,06	1,06	-1,09	1,13
-1,22	1	-1,22	-1,01	1,02	1,02	-1,03	1,04
-1,21	1	-1,21	-1,00	1,00	1,00	-1,00	1,00
-1,19	2	-2,38	-0,98	0,96	1,91	-1,88	1,84
-1,17	1	-1,17	-0,96	0,92	0,92	-0,88	0,85
-1,16	1	-1,16	-0,95	0,90	0,90	-0,86	0,81
-1,14	1	-1,14	-0,93	0,86	0,86	-0,80	0,75
-1,12	1	-1,12	-0,91	0,82	0,82	-0,75	0,69
-1,09	2	-2,18	-0,88	0,77	1,54	1,36	1.20
-1,07	1	-1,07	-0,86	0,74	0,74	-0,64	0,55
-1,06	1	-1,06	-0,85	0,72	0,72	-0,61	0.52
-1,03	1	-1,03	-0,82	0,67	0,67	-0,55	0,45
-1,00	1	-1,00	-0,79	0,62	0,62	-0,49	0,39
-0,98	1	-0,98	-0,77	0,59	0,59	-0,46	0,35
-0,97	1	-0,97	-0,76	0,57	0,57	-0,44	0,33
-0,96	1	-0,96	-0,75	0,56	0,56	-0,42	0,32
-0,95	2	-1,90	-0,74	0,54	1,09	-0,81	0.60
-0,91	1	-0,91	-0,70	0,49	0,49	-0,34	0,24
-0,90	1	-0,90	-0,69	0,47	0,47	-0,33	0,23
-0,89	1	-0,89	-0,68	0,46	0,46	-0,31	0,21
-0,85	1	-0,85	-0,64	0,41	0,41	-0,26	0,17
-0,84	2	-1,68	-0,63	0,39	0,79	-0,50	0,32
-0,81	2	-1,62	-0,60	0,36	0,72	-0,43	0,26
-0,80	1	-0,80	-0,59	0,35	0,35	-0,21	0,12
-0,79	2	-1,58	-0,58	0,33	0,67	-0,39	0,23
-0,68	1	-0,68	-0,47	0,22	0,22	-0,10	0,05
-0,67	1	-0,67	-0,46	0,21	0,21	-0,10	0,04
-0,62	1	-0,62	-0,41	0,17	0,17	-0,07	0,03
-0,61	1	-0,61	-0,40	0,16	0,16	-0,06	0,03
-0,60	3	-1,80	-0,39	0,15	0,45	-0,18	0,07
-0,59	2	-1,18	-0,38	0,14	0,29	-0,11	0,04
-0,58	2	-1,16	-0,37	0,14	0,27	-0,10	0,04
-0,55	2	-1,10	-0,34	0,11	0,23	-0,08	0.03
-0,54	1	-0,54	-0,33	0,11	0,11	-0,04	0,01
-0,53	1	-0,53	-0,32	0,10	0,10	-0,03	0,01
-0,52	2	-1,04	-0,31	0,09	0,19	-0,06	0,02
-0,51	1	-0,51	-0,30	0,09	0,09	-0,03	0,01
-0,49	2	-0,98	-0,28	0,08	0,15	-0,04	0,01
-0,47	2	-0,94	-0,26	0,07	0,13	-0,04	0,01
-0,46	2	-0,92	-0,25	0,06	0,12	-0,03	0,01
-0,45	2	-0,90	-0,24	0,06	0,11	-0,03	0,01
-0,43	2	-0,86	-0,22	0,05	0,10	-0,021	0,005
-0,42	1	-0,42	-0,21	0,04	0,04	-0,009	0,002
-0,40	1	-0,40	-0,19	0,04	0,04	-0,007	0,001
-0,39	2	-0,78	-0,18	0,03	0,06	-0,012	0,002
-0,37	2	-0,74	-0,16	0,03	0,05	-0,008	0,001
-0,36	1	-0,36	-0,15	0,02	0,02	-0,003	0,001
-0,35	3	-1,05	-0,14	0,02	0,06	-0,008	0,001
-0,33	1	-0,33	-0,12	0,01	0,01	-0,002	0,000
-0,32	1	-0,32	-0,11	0,01	0,01	-0,001	0,000
-0,31	1	-0,31	-0,10	0,01	0,01	-0,001	0,000
-0,30	3	-0,90	-0,09	0,01	0,02	-0,002	0,000
-0,29	1	-0,29	-0,08	0,01	0,01	-0,001	0,000
-0,28	3	-0,84	-0,07	0,00	0,01	-0,001	0,000
-0,26	2	-0,52	-0,05	0,00	0,00	0,000	0,000
-0,25	2	-0,50	-0,04	0,00	0,00	0,000	0,000
-0,24	4	-0,96	-0,03	0,00	0,00	0,000	0,000
-0,21	1	-0,21	0,00	0,00	0,00	0,000	0,000
-0,20	2	-0,40	0,01	0,00	0,00	0,000	0,000
-0,19	1	-0,19	0,02	0,00	0,00	0,000	0,000
-0,17	2	-0,34	0,04	0,00	0,00	0,000	0,000
-0,14	1	-0,14	0,07	0,01	0,01	0.000	0,000
-0,13	3	-0,39	0,08	0,01	0,02	0,002	0,000
-0,12	1	-0,12	0,09	0,01	0,01	0,001	0,000
-0,09	1	-0,09	0,12	0,01	0,01	0,002	0,000
-0,07	1	-0,07	0,14	0,02	0,02	0,003	0,000
-0,05	1	-0,05	0,16	0,03	0,03	0,004	0,001
-0,04	1	-0,04	0,17	0,03	0,03	0,005	0,001
-0,03	2	-0,06	0,18	0,03	0,07	0,012	0,002
-0,02	3	-0,06	0,19	0,04	0,11	0.021	0,004
-0,01	1	-0,01	0,20	0,04	0,04	0,008	0,002
0,00	1	0,00	0,21	0,04	0,04	0.009	0,002
0,01	1	0,01	0,22	0,05	0,05	0,011	0,002
0,03	1	0,03	0,24	0,06	0,06	0,014	0,003
0,05	3	0,15	0,26	0,07	0,21	0,053	0,014
0,069	1	0,069	0,28	0,08	0,08	0,022	0,006
0,07	1	0,07	0,28	0,08	0,08	0,022	0,006
0,078	1	0,078	0,29	0,08	0,08	0,024	0,007
0,10	1	0,10	0,31	0,10	0,10	0,030	0,009
0,12	2	0,24	0,33	0,11	0,22	0,07	0,02
0,13	1	0,13	0,34	0,12	0,12	0,04	0,01
0,15	1	0,15	0,36	0,13	0,13	0,05	0,02
0,17	2	0,34	0,38	0,15	0,29	0,11	0,04
0,19	1	0,19	0,40	0,16	0,16	0,06	0,03
0,20	1	0,20	0,41	0,17	0,17	0,07	0,03
0,21	1	0,21	0,42	0,18	0,18	0,07	0,03
0,22	2	0,44	0,43	0,19	0,37	0,16	0,07
0,23	2	0,46	0,44	0,20	0,39	0,17	0,07
0,26	2	0,52	0,47	0,22	0,45	0.21	0,10
0,27	3	0,81	0,48	0,23	0,70	0,33	0.16
0,29	1	0,29	0,50	0,25	0,25	0,13	0,06
0,30	1	0,30	0,51	0,26	0,26	0,13	0,07
0,32	1	0,32	0,53	0,28	0,28	0,15	0,08
0,33	1	0,33	0,54	0,29	0,29	0,16	0,09
0,34	1	0,34	0,55	0,30	0,30	0,17	0,09
0,36	1	0,36	0,57	0,33	0,33	0,19	0,11
0,41	2	0,82	0,62	0,39	0,77	0,48	0,30
0,42	2	0,84	0,63	0,40	0,80	0,50	0,32
0,47	1	0,47	0,68	0,46	0,46	0,31	0,21
0,48	1	0,48	0,69	0,48	0,48	0,33	0,23
0,51	2	1,02	0,72	0,52	1,04	0,75	0,54
0,52	2	1,04	0,73	0,54	1,07	0,78	0,57
0,55	1	0,55	0,76	0,58	0,58	0,44	0,33
0,59	3	1,77	0,80	0,64	1,93	1,54	1,23
0,60	1	0,60	0,81	0,66	0,66	0,53	0,43
0,64	3	1,92	0,85	0,73	2,18	1,84	1,57
0,66	1	0,66	0,87	0,76	0,76	0,66	0,57
0,67	2	1,34	0,88	0,78	1,56	1,36	1,20
0,68	2	1,36	0,89	0,80	1,59	1,41	1.25
0,70	2	1,40	0,91	0,83	1,66	1,51	1.37
0,71	1	0,71	0,92	0,85	0,85	0,78	0,72
0,73	2	1,46	0,94	0,89	1,77	1,66	1,56
0,78	1	0,78	0,99	0,98	0,98	0,97	0,96
0,80	1	0,80	1,01	1,02	1,02	1,03	1.04
0,82	2	1,64	1,03	1,06	2,13	2,19	2,25
0,83	1	0,83	1,04	1,09	1,09	1,12	1,17
0,84	1	0,84	1,05	1,11	1,11	1,16	1,22
0,85	1	0,85	1,06	1,13	1,13	1,19	1,26
0,92	1	0,92	1,13	1,28	1,28	1,44	1.63
0,94	1	0,94	1,15	1,33	1,33	1,52	1,75
0,99	1	0,99	1,20	1,44	1,44	1,73	2,07
1,02	1	1,02	1,23	1,52	1,52	1,86	2,29
1,03	1	1,03	1,24	1,54	1,54	1,91	2,36
1,06	2	2,12	1,27	1,62	3,24	4,10	5,20
1,07	1	1,07	1,28	1,64	1,64	2,10	2,68
1,08	2	2,16	1,29	1,67	3,34	4,29	5,54
1,11	1	1,11	1,32	1,75	1,75	2,30	3,04
1,12	1	1,12	1,33	1,77	1,77	2,35	3.13
1,13	2	2,26	1,34	1,80	3,60	4,81	6.45
1,16	1	1,16	1,37	1,88	1,88	2,57	3.52
1,20	1	1,20	1,41	1,99	1,99	2,80	3,95
1,22	2	2,44	1,43	2,05	4,10	5,85	8,36
1,28	1	1,28	1,49	2,23	2,23	3,31	4,93
1,29	1	1,29	1,50	2,26	2,26	3,38	5.06
1,32	1	1,32	1,53	2,35	2,35	3,58	5,48
1,36	1	1,36	1,57	2,47	2,47	3,87	6,08
1,39	1	1,39	1,60	2,57	2,57	4,10	6,55
1,43	1	1,43	1,64	2,70	2,70	4.41	7,23
1,45	1	1,45	1,66	2,76	2,76	4.57	7,59
1,51	1	1,51	1,72	2,96	2,96	5,09	8,75
1,52	3	4,56	1,73	3,00	9,00	15,53	26,87
1,61	1	1,61	1,82	3,32	3,32	6,03	10,97
1,63	1	1,63	1,84	3,39	3,39	6,23	11,46
1,78	1	1,78	1,99	3,97	3,97	7,88	15,68
2,20	1	2,20	2,41	5,82	5,82	14,00	33,73
2,24	1	2,24	2,45	6,01	6,01	14,71	36,03

Сумма                   -52,74                                                  241,97         -54,58             680,40

 

 

     Исключение из выборки промахов. При этом исключаются значения , отличающиеся от среднего значения больше, чем .

=2,96

После проведения проверки выявлено, что промахи отсутствуют.

1.7  Определение оценки центра распределения.

В зависимости от типа распределения в качестве оценки может выбираться различные оценки. Для класса распределений, близких к нормальному с , эффективными оценками являются усеченные средние.

Усеченные средние получают, отбрасывая по K=n*a крайних членов слева и справа в упорядоченной выборке, а затем усредняя оставшиеся члены. Обычно используют значения a=0,05 и . Усеченное среднее определяется по формуле (6):

                                                                                           (6)                     

1.8  Определение оценок третьего центрального момента  по формуле (7):

                                                                                                     (7)

1.10 Определение коэффициента асимметрии  по формуле (8):

                                                                                                               (8)

                                                       

1.11 Определение стандартного отклонения коэффициента асимметрии по формуле (9):

                                                                                                     (9)

                                                          

1.12 Определение оценки симметричности распределения. Распределение можно считать симметричным, если выполняется условие:

Условие выполняется, значит, распределение симметрично.

 

1.13 Определение эксцесса Э по формуле (10):

                                                                                                                (10)

1.14 Определение коэффициента эксцесса  по формуле (11):

                                                                                                                (11)

1.15 Определение показателя формы. Показатель формы распределения  связан с эксцессом Э функциональной зависимостью и определяется по формуле (12):                                                                                                   

                                                                                                    (12)

Он определяется по графику зависимости показателя формы  от эксцесса Э. =2,2

1.16 Определение числа интервалов m по формуле (13):

                                

                                                                                                           (13)

1.17 Определение ширины интервалов d по формуле (14):

                

                                                 =0,6                                              (14)

                                                                                                         

1.18 Определение суммы частостей  по  всем интервалам   W   по

формуле (15):

                                                                                                            (15)

                                                   

 

Таблица 2 - Определение суммы частостей

Границы интервалов	Границы	Частота	Середина интервала	Частость
«-3,12;-2,52»	-2,52	5	-2,82	0,0241
«-2,52;-1,92»	-1,92	6	-2,22	0,0201
«-1,92;-1,32»	-1,32	25	-1,62	0,1004
«-1,32;-0,72»	-0,72	33	-1,02	0,1325
«-0,72;-0,12»	-0,12	67	-0,42	0,2691
«-0,12;0,48»	0,48	50	0,18	0,2008
«0,48;1,08»	1,08	39	0,78	0,1566
«1,08;1,68»	1,68	21	1,38	0,0843
«1,68;2,28»		3	1,98	0,0120
	Сумма	249		1

 

 

      1.19  Определение энтропийного коэффициента к по формуле (16):

 

                                                       ,                                                         (16)

                                              где                                            (17)                                       

k = 2788,12 /0,99=2816,34

  Гистограмма эмпирического распределения показана на рисунке 1.

Рисунок 1 – Гистограмма эмпирического распределения

 

Теоретическому

       2.1 Проверка о нормальности закона распределения по критерию Пирсона

Проверка гипотезы о согласованности теоретического и эмпирического распределений с помощью критерия Пирсона приведена в таблице 3.

Вычисления сводим в таблицу 3.

 

 Таблица 3-Результат вычисления при использовании критерии Пирсона

 

1	2	3	4	5	6
-3,12	-2,52	5	-2,82	-2,64	0,012
-2,52	-1,92	6	-2,22	-2,03	0,051
-1,92	-1,32	25	-1,62	-1,43	0,146
-1,32	-0,72	33	-1,02	-0,82	0,288
-0,72	-0,12	67	-0,42	-0,21	0,394
-0,12	0,48	50	0,18	0,40	0,373
0,48	1,08	39	0,78	1,00	0,243
1,08	1,68	21	1,38	1,61	0,110
1,68	2,28	3	1,98	2,22	0,034

 

   

 

Продолжение таблицы 3

7	8	9	10	11
0,007	1,87	3,13	9,81	5,26
0,031	7,72	-1,72	2,96	0,38
0,089	22,07	2,93	8,60	0,39
0,175	43,62	-10,62	112,84	2,59
0,239	59,62	7,38	54,40	0,91
0,226	56,35	-6,35	40,33	0,72
0,148	36,83	2,17	4,73	0,13
0,067	16,64	4,36	19,01	1,14
0,021	5,20	-2,20	4,84	0,93

                                                                                                                ∑=12,45

   

            Находим число степеней свободы по формуле (18):

                                                            S = r -3                                                       (18)

S = 6

                     По числу степеней свободы и уровню значимости определяем ,

, значит, гипотеза о нормальном законе распределения принимается.

       2.2 Проверка треугольного закона распределения по критерию согласия Колмогорова

Проверка закона распределения с помощью критерия согласия Колмогорова приведена в таблице 4.

      Эмпирическая функция распределения по формуле (19):

                                 (19)

Значения теоретической функции распределения, определяется по формуле(20):

 

a < x < a+b                                                                   (20)

(a + b)/2< x < b

-3,12< x <-3,12+2,28

 

 

(-3,12+2,28)/2< x <2,28

 

 

 

Таблица 4 -   Проверка треугольного закона распределения по критерию согласия          Колмогорова

   

№	Интервалы	Срединные значения		Значения эмпирической функции распреде-ления Fэмп.	Теорети-ческая функция распреде-ления Fтеор.	[Fэмп.-Fтеор.]
1	[-3,12; -2,52]	-2,82	5	0,0201	0,0234	0.0033
2	(-2,52; -1,92]	-2,22	6	0,0442	0,1002	0,0561
3	(-1,92; -1,32]	-1,62	25	0,1446	0,2255	0,0809
4	(-1,32; -0,72]	-1,02	33	0,2771	0,3779	0,1008
5	(-0,72; -0,12]	-0,42	67	0,5462	0,6891	0,1429
6	(-0,12; 0,48]	0,18	50	0,7470	0,517	0,2300
7	(0,48; 1,08]	0,78	39	0,9036	0,3951	0,5085
8	(1,08; 1,68]	1,38	21	0,9880	0,3273	0,6607
9	(1,68; 2,28]	1.98	3	1	1	0
10	Сумма		249

 

         Наблюдаемое значение выборочной статистики определим по формуле (21):

                                                                              (21)

                                          = =10,43                                       

По таблицам квантилей распределения Колмогорова по заданной вероятности α=0,01 находим критическое значение .

Так как .то гипотезу о треугольном законе распределения отвергаем.

 

Заключение

         По данным выборки (n=249) построили гистограмму и предположили, что это нормальный, треугольный или двухсторониий экспоненциальный законы распределения вероятности. При проверке соответствия эмпирического распределения теоретическому, по критерию Пирсона с заданным уравнением значимости α=0,01, нашли критическое значение  =16,8. Сравнив критическое значение с расчетным 16.8>12,45 пришли к выводу, что выборка подчиняется нормальному закону распределения вероятности.

Далее проверили соответствие эмпирического распределения теоретическому, по критерию Колмогорова с заданным уравнением значимости α=0,001, нашли критическое значение . Сравнив критическое значение с наблюдаемым  , пришли к выводу, что выборка не подчиняется треугольному закону распределения вероятности.

Также проверили двухсторонний экспоненциальный закон по критерию Колмогорова с заданным уравнением значимости α=0,001, нашли критическое значение . Сравнив критическое значение с наблюдаемым  , пришли к выводу, что выборка не подчиняется двухстороннему экспоненциальному закону распределения вероятности.

Затем определили доверительные интервалы, в котором лежит значение измеряемой величины

 В итоге при проверке ЗРВ с помощью критерия Пирсона была принята гипотеза о нормальном ЗРВ результатов измерений, остальные гипотезы были отклонены.

      В данной курсовой работе мы закрепили знания по основным разделам курса общей теории измерения, а также провели практическое обучение методам анализа и обработки статистических данных.

 

Содержание

 

Введение………………………………………………………………………....3

1 Определение закона распределения вероятностей результата измерения………………………………………………………………….………......4

2 Проверка соответствия эмпирического распределения теоретическому…………………………………………………………….................13

Заключение...………………………………………………………………......17

          Список использованных источников………………………………………....18

 

Введение

Наука о получении количественной информации опытным путем называется метрологией. Опытным путем, т.е. экспериментально, количественная информация получается посредством измерений. Таким образом, метрология – наука о получении измерительной информации. Целью курсовой работы является закрепление знаний по основным разделам курса теоретической метрологии, а также практическое обучение методам анализа и обработки статистических данных.

Задание к курсовой работе: по данному объему выборки n, представляющей массив экспериментальных данных, опр