Ри c. 39. Векторная диаграмма токов и напряжений при последовательном соединении элементов цепи.

8. В однородной изотропной и немагнитной ( среде с диэлектрической проницаемостью  вдоль оси Х распространяется плоская электромагнитная волна, электрическое поле которой описывается уравнением Е = Е ₀ kx), и падает на поверхность тела, полностью её поглощающего. Считая амплитудное значение напряжённости Е ₀ электрического поля и частоту  волны известными, определить:

1). показатель преломления n среды, фазовую скорость , волновое число k и длину  волны;

2). амплитуду напряжённости Н ₀ магнитного поля волны; написать уравнение её магнитной составляющей;

3). интенсивность волны I; давление Р, оказываемое волной на тело;

4). изменение длины волны Δ  в случае, если бы рассматриваемая электромагнитная волна переходила из немагнитной среды с диэлектрической проницаемостью  в вакуум;

5). изобразить графически взаимное расположение векторов ,  и  в волне.

Числовые значения параметров задачи

№ варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
	2,0	2,2	3,0	5,0	7,0	1,0	2,0	3,0	7,0	2,2	5,0	1,0	2,0
Е 0,	10	9	8	7	6	5	6	7	8	9	10	11	12
, МГц	5	6	7	8	9	10	11	10	9	8	7	6	5
S, см 2	10	9	8	7	6	5	6	7	8	9	10	9	8
№ варианта	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26
	7,0	5,0	3,0	2,2	2,0	1,0	2,0	2,2	3,0	5,0	7,0	5,0	3,0
Е 0,	6	7	8	9	10	11	12	10	9	8	7	6	5
, МГц	11	10	9	8	7	6	5	5	6	7	8	9	10
S, см 2	6	7	8	9	10	9	8	10	9	8	7	6	5

Решение

1). Показатель преломления n среды, фазовая скорость , волновое число k и длина  волны:

а).показатель преломления среды: n = ;

б). фазовая скорость волны:  = , , где с = 3·10⁸ ;

в). циклическая частота волны:  = 2 , ;

г). волновое число: k = , ;

д). длина волны:  = , м.

2). Амплитуда напряжённости Н₀ магнитного поля волны; уравнение её магнитной составляющей:

а). амплитуда напряжённости:   E ₀ =   H ₀   H ₀ = E ₀, ;

б). уравнение магнитной составляющей поля волны:

H = H ₀   kx).

3). Интенсивность волны I; давление Р, оказываемое волной на тело:

а). интенсивность волны:

I = < S >, где S = EH = E ₀ H _o  – вектор Умова – Пойнтинга.

< S > =  E ₀ H _o;   <  > = ; H ₀ =  E ₀  

                               I = < S > =   , ;

б). давление, оказываемое волной на тело:

Согласно Максвеллу, если тело полностью поглощает падающую на него энергию, то давление равно среднему значению объёмной плотности энергии падающей электромагнитной волне.

Объёмные плотности энергии электрического и магнитного полей;

 = ,  = ;  = ;

 =  +  = 2  = 2 ;

 = 2  =  = _;

 = <  >; <  > =

P =  = , Па.

4). Изменение длины волны Δ  в случае, если бы рассматриваемая электромагнитная волна переходила из немагнитной среды с диэлектрической проницаемостью  в вакуум:

Δ  = ;  = ;  =  Δ  = , м.

5). Взаимное расположение векторов ,  и  в волне:

Электромагнитные волны поперечны – векторы и перпендикулярны друг другу и лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны (рис. 40).

Рис. 40.

9. На дифракционную решётку длиной l ₁, содержащую N ₁ штрихов, нормально к её поверхности падает монохроматический свет с длиной волны . На экран, изготовленный из диэлектрика, находящийся от решётки на расстоянии L, с помощью линзы, расположенной вблизи решётки, проецируется дифракционная картина, причём первый главный максимум находится на расстоянии l от центрального (рис. 41).

Определить:

1). период d дифракционной решётки; число штрихов n ₀ на 1 мм её длины;

2). наибольший порядок k_{max .} спектра; общее число N главных максимумов, даваемых решёткой; угол дифракции , соответствующий последнему максимуму;

3). максимальный угол дифракции  в случае, если свет падает под углом  к её нормали (рис. 42);

4). максимальную разрешающую способность R_{max .} дифракционной решётки; разность длин волн , разрешаемую этой решёткой в спектре второго порядка; её угловую дисперсию  для наибольшего порядка k_{max .} спектра и угола дифракции ;

5). показатель преломления диэлектрика n, если отражённый от него под углом луч полностью поляризован.

Рис. 41.

Числовые значения параметров задачи

№ варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
l 1, мм	15	20	25	30	35	40	45	50	45	40	30	20	15
N 1·103	3	3,5	4	4,5	3,5	4	4,5	5	4,5	4	3	2	1,5
нм	550	600	650	700	750	380	400	450	500	550	600	650	700
L, м	1,0	0,5	1,0	1,5	0,5	0,25	0,30	0,35	0,40	0,45	0,50	0,60	0,70
l, м	0,10	0,05	0,06	0,07	0.08	0,09	0,10	0,05	0,06	0,07	0.08	0,09	0,10
	60	45	30	0	60	45	30	0	60	45	30	0	60
№ варианта	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26
l 1, мм	40	45	50	45	40	30	20	15	15	20	25	30	35
N 1 · 103	5	4	5	4	4	3	3	2	1,5	1	2	2,5	3,5
нм	380	400	450	500	550	600	650	700	550	600	650	700	750
L, м	0,25	0,30	0,35	0,40	0,45	0,50	0,60	0,70	1,0	0,5	1,0	1,5	0,5
l, м	0,09	0,10	0,05	0,06	0,07	0.08	0,09	0,10	0,10	0,05	0,06	0,07	0.08
	60	45	30	0	60	45	30	0	60	45	30	0	60

Решение

1). Период d дифракционной решётки; число штрихов n ₀ на 1 мм её длины:

а). период дифракционной решётки: d = , м;

б). число штрихов на 1 мм её длины: n ₀ = , .

2). Наибольший порядок k_{max .} спектра, общее число N главных максимумов, даваемых решёткой; угол дифракции , соответствующий последнему максимуму;:

а). наибольший порядок спектра:

Формула дифракционной решётки: d  = k , где k – порядок спектра. Наибольший угол отклонения лучей решеткой не может быть более , поэтому  при  = 1 k_{max .}   . Число k должно быть целым.

б). общее число главных максимумов: N = 2 k_{max .} + 1, т.к. максимумы наблюдаются справа и слева от центрального максимума (единица учитывает центральный максимум).

в). угол дифракции, соответствующий последнему максимуму:

d  = k_max.        = arc ).

3). Максимальный угол дифракции  в случае, если свет падает под углом  к её нормали:

Рис. 42.

Δ = AB CD = d      = k      =  + .

4). Максимальная разрешающая способность R_{max .} дифракционной решётки; разность длин волн , разрешаемую этой решёткой в спектре второго порядка; её угловую дисперсию  для k_max и :

а). максимальная разрешающая способность дифракционной решётки:

R_{max .} = k_maxN ₁;

б). разность длин волн, разрешаемую решёткой в спектре второго порядка                     (k = 2):  = kN ₁  =  =  , м;

в). угловая дисперсия решётки:  = , .

5). Показатель преломления диэлектрика n, если отражённый от него под углом луч полностью поляризован:

Согласно закону Брюстера:    n =   tg