Помехоустойчивость согласованного фильтра.

Согласованный фильтр.

В соответствии с критерием оптимального приема, взаимно корреляционная функция  переданного сигнала  с принятым сигналом   должна быть максимальной, т.е.

(I)

Указанную операцию  следует провести для всех сигналов , которые могут быть переданы; затем выбрать тот , для которого будет иметь место , т.е.   будет    наибольшей.

Операция вычисления  может быть выполнена с помощью линейного фильтра, выходное напряжение  которого определяется интегралом Дюамеля вида:

,

где:  - принимаемый сигнал в смеси с шумом,

 - импульсная характеристика фильтра.

Будем производить отсчет напряжения на выходе фильтра в момент . Тогда заменив  и , получим:

или заменив переменную интегрирования  на , получим: (II).

Из сравнения (I) и (II) следует, что , т.е. импульсная характеристика фильтра, выполняющего операцию вычисления взаимно корреляционной функции принятого сигнала  с этой импульсной характерис-тикой, должна соответствовать зеркальному отображению сигнала , (Рис. 2.6):

           Фильтр, обладающий такой импульсной характеристикой, называется согласованным фильтром (оптимальным фильтром). Если его импульсная характеристика образована из сигнала, с которым он согласован, то такой фильтр вычисляет в момент величину автокорреляционной функции этого сигнала. При приеме сигнала в смеси с шумом такой фильтр может вычислять взаимнокор-реляционную функцию принятого сигнала Х(t) с любым сигналом   из тех, которые могли быть переданы по каналу связи. Тогда оптимальный приемник может быть построен по схеме Рис 2.7 c использованием «m» фильтров, согласованных с сигналами  Сигналу соответствует , вычисленный согласованным фильтром СФ _к.

Физический процесс в корреляторе.

    Пусть на вход коррелятора подается гармонический сигнал вида радиоимпульса длительностью  с частотой заполнения .

Опорный генератор должен формировать колебание «образца» сигнала:

Тогда для напряжения на выходе коррелятора получим:

    Отсчет берется в момент , когда заканчивается радиоимпульс. В этот момент  достигает максимума. Для сравнения представлены напряжения на выходе коррелятора и линейного пассивного согласованного фильтра .

 

 

 

Помехоустойчивость различных способов приема сигналов

С дискретной модуляцией.

Прием сигналов с дискретной амплитудной модуляцией(ДАМ).

Блок-схемы приемников ДАМ представлены на Рис. 2.16 и 2.17.

а) Приемник с некогерентным детектором, (Рис. 2.16)     

б) Приемник с когерентным детектором, (Рис. 2.17)

 

Оба приемника содержат на входе полосовой фильтр, настроенный на частоту несущей с полосой пропускания , - длительность посылки.

    В качестве детекторов используются соответственно линейный (некогерентный) амплитудный детектор огибающей, на вход которого подается принимаемый сигнал, и синхронный (когерентный детектор), на входы которого подается принимаемый сигнал и опорное напряжение, синфазное с несущим колебанием сигнала.

    На выходе каждого приемника стоит решающее устройство, производящее в тактовый момент времени сравнение напряжения на выходе детектора  с пороговым напряжением .

Если , то принимается решение о передаче «1», если , принимается решение о передаче «0».

Рассмотрим  ряд случаев принятия указанных решений в приемнике.

Сигнал на входе приемника имеет вид:

 

 

Помехой является «белый» нормальный шум. Соответственно на выходе детектора мы будем иметь либо огибающую шума с ФПВ (плотностью вероятности) вида:

, где  - дисперсия,

 

 либо огибающую смеси (сигнал + шум) с плотностью вероятности ФПВ вида:

 

, где  –модифицированная  функция Бесселя.

Рис. 2.18 а                                                    Рис. 2.18 б

При отсутствии шума в случае посылки типа «0» (сигнал отсутствует) порог  не будет преодолен и решающее устройство выдает «0». При передаче «1» плотность вероятности сигнала на выходе детектора будет иметь , где - амплитуда радиоимпульса сигнала.

В этом случае будет иметь место ; решающее устройство выдаст «1».

 

2. Реальный случай (шум ≠ 0), Рис. 2.19 а) и б)

   

Рис. 2.19 а                                                    Рис. 2.19 б

    Если передается «0», то в этом случае напряжение на выходе детектора представляет собой огибающую одного шума, плотность вероятности которого распределена по закону Рэлея . Поэтому ошибка (т.е. прием «1») возникает, если напряжение огибающей шума превысит порог .

Вероятность ошибки при передаче «0» будет:        

    Эта вероятность численно равна площади под кривой справа от  (вертикальная  штриховка). Если передается «1», то ошибка (т.е. прием «0») возникает, если огибающая напряжения (сигнал + шум) примет значение меньше порога  .

Вероятность ошибки при передаче «1» будет:

Эта вероятность численно равна площади под кривой слева от порога (горизонтальная штриховка) Рис. 2.19б. Все ошибки являются следствием элемента случайности в поведении шума и подчиняются вероятностным законам.

Соответственно вероятности правильного приема «0» и «1» численно равны незашрихованным областям кривых ФПВ, находящимся слева и справа от . Рассмотрим ФПВ шума и (сигнал+шум) на одном графике, (Ррис.2.20):

Рис. 2.20

Легко видеть, что изменяя порог  мы можем либо уменьшать ошибку

за счет увеличения ошибки , либо наоборот – увеличивать ошибку

за счет уменьшения ошибки . Существует некоторое оптимальное значение порога. Вероятность полной ошибки при некогерентном приеме определяются формулой:

,

где - интеграл вероятности, а  - отношение сигнал/шум.

Рис. 2.21

В случае равновероятной передачи «0» и «1» величина оптимального порога будет равна . С увеличением амплитуды сигнала  кривая  сдвигается вправо, и область перекрытия кривых уменьшается, а значит, уменьшаются и вероятности ошибок и .Следует заметить, что кривая распределения шума по сравнению со случаем некогерентного приема сдвинута влево и имеет другое распределение. За счет этого область перекрытия кривых, т.е. вероятность ошибки, уменьшается.

Вероятность ошибки при когерентном приеме имеет вид:

= =

Некогерентный прием ДЧМ.

 Блок-схема некогерентного приемника ДЧМ -сигналов представлена на Рис.2.22

Приемник работает по двухканальной схеме ДАМ. Полосовые фильтры на входе каждого канала настроены соответственно на частоты посылок  и .

Верхний (по схеме) канал отвечает за прием «0», нижний канал – за прием «1». Напряжения с выходов детекторов подаются на вычитающее устройство и далее на решающее устройство с нулевым порогом. Если напряжение на выходе вычи-тающего устройства больше нуля – решение «0»,если меньше нуля – решение «1». Возникновение ошибок с вероятностями и имеет место, когда напряжение огибающей помехи в канале нуля, по которому сигнал не передается, будет больше, чем напряжение огибающей смеси (сигнал + помеха) в канале единицы, по которому сигнал передается. Разнос частот  и  выбирается достаточно большим чтобы исключить взаимовлияние каналов. Все это позволяет повысить помехоустойчивость приема сигнала ДЧМ по сравнению с ДАМ. Вероятность ошибки при приеме сигналов ДЧМ имеет вид: .

 

Рис. 2.24

        

Заштрихованные области соответствуют вероятностям ошибок, которые вычисляются следующим образом:

Вероятность ошибки при приеме «1» →

Вероятность ошибки при приеме «0» →

Вследствие симметрии распределения вероятностей  и  вероятности ошибок  и  будут одинаковы, т.е. = = .

Отметим, что кривые распределения напряжения на выходе детектора разнесены в большей степени по сравнению со случаем когерентного приема ДАМ и ДЧМ. Это еще более уменьшает зону перекрытия кривых, а значит – и вероятность ошибки.    

    Средняя вероятность ошибки при приеме сигналов ДФМ равна:

    Таким образом, помехоустойчивость при приеме сигналов ДФМ является самой высокой из всех рассмотренных способов приема сигналов. Она равна потенциальной помехоустойчивости сигналов ФМ.

    Это следует из сравнения выражений для вероятности ошибок . Кроме того, сравнение кривых плотностей вероятностей для ДАМ и ДФМ позволяет установить, что заштрихованные области ошибок по площади значительно меньше у ДФМ. Причиной этого является то, что среднее значение шума ДАМ (синхронный прием) , а при ДФМ это величина - . Для получения при ДАМ тех величин ошибок необходимо кривую  (Рис.2.21) подвинуть вправо на величину  , т.е. увеличить амплитуду сигнала в 2 раза. Однако большим недостатком ДФМ является возможность эффекта «обратной работы», возникающего по причине действия помех. Фаза принимаемого сигнала при этом может изменяться на 180⁰ относительно опорного сигнала, и знак посылок меняется на обратный; правильный прием сигнала становится невозможным.

 

Согласованный фильтр.

В соответствии с критерием оптимального приема, взаимно корреляционная функция  переданного сигнала  с принятым сигналом   должна быть максимальной, т.е.

(I)

Указанную операцию  следует провести для всех сигналов , которые могут быть переданы; затем выбрать тот , для которого будет иметь место , т.е.   будет    наибольшей.

Операция вычисления  может быть выполнена с помощью линейного фильтра, выходное напряжение  которого определяется интегралом Дюамеля вида:

,

где:  - принимаемый сигнал в смеси с шумом,

 - импульсная характеристика фильтра.

Будем производить отсчет напряжения на выходе фильтра в момент . Тогда заменив  и , получим:

или заменив переменную интегрирования  на , получим: (II).

Из сравнения (I) и (II) следует, что , т.е. импульсная характеристика фильтра, выполняющего операцию вычисления взаимно корреляционной функции принятого сигнала  с этой импульсной характерис-тикой, должна соответствовать зеркальному отображению сигнала , (Рис. 2.6):

           Фильтр, обладающий такой импульсной характеристикой, называется согласованным фильтром (оптимальным фильтром). Если его импульсная характеристика образована из сигнала, с которым он согласован, то такой фильтр вычисляет в момент величину автокорреляционной функции этого сигнала. При приеме сигнала в смеси с шумом такой фильтр может вычислять взаимнокор-реляционную функцию принятого сигнала Х(t) с любым сигналом   из тех, которые могли быть переданы по каналу связи. Тогда оптимальный приемник может быть построен по схеме Рис 2.7 c использованием «m» фильтров, согласованных с сигналами  Сигналу соответствует , вычисленный согласованным фильтром СФ _к.

Помехоустойчивость согласованного фильтра.

  Пусть на вход согласованного фильтра действует сумма сигнала

 и шума - стационарного, случайного процесса типа «белого» шума:

.

Спектр сигнала: ;

спектральная плотность шума: ;

коэффициент передачи фильтра: .

  Выражение для сигнала на выходе фильтра:

 ,

где:

  Выражение для мощности помехи на выходе фильтра:

  Пиковая мощность сигнала и эффективное значение мощности помехи для момента времени :

;

    Определим комплексный коэффициент передачи фильтра: ,

для которого в заданный момент времени отношение пиковой мощности сигнала к эффективному значению помехи (шума) было бы максимальным.

Полученное выражение может иметь максимальное значение, если будет выполнено равенство, т.е. одно из условий неравенства Коши-Шварца:

,

где

Это условие выполняется, если , где ,

 - сопряженный комплекс по отношению к .

Это означает, что          (1)

                          (2)

Первое условие (1) означает, что частотная характеристика фильтра с точностью до постоянного множителя должна повторять характеристику модуля спектра сигнала. Итак, между спектром сигнала и частотной характеристикой фильтра имеется жесткая связь. Поэтому такой оптимальный фильтр называется согласованным.

Второе условие (2) означает следующее:

Рассмотрим фазу выходного сигнала  фильтра (см. выше):

при  получим:

.

при фаза выходного сигнала  будет иметь вид:

 

Это означает, что при , все составляющие спектра сигнала на выходе согласованного фильтра будут находиться в фазе. Поэтому сигнал на выходе фильтра будет максимальным.