Тема Неопределенный интеграл

Тема Неопределенный интеграл

Непосредственное интегрирование

     Функция F (х) называется первообразной для функции f (x), если F ¢ (x) = f (x) или dF (x) = f (x) dx. Если функция f (x) имеет первообразную F(х), то она имеет бесконечное множество первообразных, причем все первообразные содержатся в выражении

F (х) + С,

Где С – постоянная.

    Неопределенным интегралом от функции f (x) (или от выражения f (x) dx) называется совокупность всех ее первообразных. Обозначение: f (x) dx = F (х)+C. Здесь ò - знак интеграла, f (x) – подынтегральная функция, f (x) dx – подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования.

   Отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием функции.

Свойства неопределенного интеграла:

1^°. ( f (x) dx)^¢ = f (x).

     2^°. d ( f (x) dx) = f (x) dx.

     3^°.  dF (x) = F (х) + C.

     4^°.  af (x) dx = a  f (x) dx, где а – постоянная.

    5^°.  [ f₁ (x) ± f₂ (x)] dx =  f₁ (x) dx ±  f₂ (x) dx.

    6^°. Если  f (x) dx = F (x) + C и u = j (x), то  f(u) du = F (u) + C

    Таблица основных неопределенных интегралов:

1. .                            7. .

2. .                8. .

3. .                      9. .

4. .                  10. .

5. .                      11. .

6. .               12. .

                                                     13. .

      Пример 1. Найти интеграл  (x³- 5x² + 7x - 3) dx.

      Решение. Используя свойства 4^° и  5^°, получаем

    К первым трем интегралам правой части применим формулу (2), а к четвертому интегралу – формулу (1) таблицы интегралов:

   

Пример 2. Найти интеграл ( + ) .

    Решение:

( + )²  = ( )  = ( )  =

= +  = = +С.

 

Замена переменной в неопределенном интеграле

    Пусть х = j (t), где j (t) – монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t. Тогда формула замены переменной в этом случае имеет вид

 f(x)dx =  f [j (t)] j¢ (t)dt.

    Пример 3. Найти интеграл

    Решение:

 

=

     Пример 4. Найти интеграл

     Решение:

Ответ должен быть выражен через старую переменную . Подставляя в результат интегрирования , получим

      Пример 5. Найти интеграл

      Решение:

         

Пример 6. Найти интеграл

    Решение:

     Пример 7. Найти интеграл

     Решение:

. Возвращаясь к старой переменной, получим

Интегрирование по частям

      Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле

 =  – ,

где = j(х),  = y (x) – непрерывно дифференцируемые функции от x.

 При этом за u берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dv – та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.

Так, например, для интегралов вида

где  - многочлен, за u следует принять , а за dv - соответственно выражение  для интегралов вида

 за u принимаются соответственно функции а за dv - выражение

      Пример 8. Найти интеграл

     Решение:

= . По формуле интегрирования по частям находим

      Пример 9. Найти интеграл

      Решение:

= . Отсюда по формуле интегрирования по частям находим:

 

4. Интегрирование рациональных функций

     Дробной - рациональной функцией называется функция, равная частному от деления двух многочленов:

R(x) = .

    Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, в противном случае - неправильной. Отметим, что всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби:

,

где r(x) - многочлен, степени меньше степени знаменателя Q(x). Таким образом, интегрирование рациональной функции сводится к интегрированию правильной рациональной дроби. А интегрирование правильной рациональной дроби сводится к интегрированию простейших дробей типа:

                       1. ;                     2. ;

3. ;          4. .

(x² +рх + q - не имеет действительных корней.)

 

Интегрирование простейших рациональных дробей:

1. .

2. .

3. Основной способ нахождения интеграла   состоит в предварительном выделении полного квадратного трехчлена:

 

       Рассмотрим этот способ на примере.

      Пример 10. Вычислить интеграл

      Решение. Выделим полный квадрат в знаменателе и преобразуем дробь:

х² +2х -1 = х² +2х +1-1-1 = (х+1)² -2.

 Тогда = =  - =

= - +С.

4. Если введем новую переменную t, положив t = х +   и

х² + рх + q = t² + a², где a² = q - , то интеграл =I_n можно вычислить с помощью реккурентной формулы

I_n = .

 

Кратные интегралы

Двойные интегралы

   Пусть функция f(x,y) определена в ограниченной замкнутой области D плоскости хОy. Разобьём область D произвольном образом на n элементарных областей, имеющих площадь ∆σ , ∆σ , …, ∆σ  и диаметры d , d₂, …, d  (диаметром области называется наибольшее из расстояний между двумя точками границы этой области). Выберем в каждой элементарной области произвольную точку P  (ξ ;η_к) и умножим значение функции в точки P  на площадь этой области.

   Интегральной суммой для функции f(x,y) по области D называется сумма вида

.

    Если при max d  интегральная сумма имеет определенный конечный предел

I = ,

не зависящий от способа разбиения D на элементарные области и от выбора точек P в пределах каждой из них, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) в области D и обозначается следующим образом:

I = .

   Если f(x,y)>0 в области D, то двойной интеграл  равен объему цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = f(x,y), сбоку цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси О , и снизу областью D плоскости хОy.

Основные свойства двойного интеграла:

1.

2. , где с – постоянная.

3. Если область интегрирования D разбита на две области D  и D , то

4. Оценка двойного интеграла. Если m ≤ f(x,y) ≤ M, то , где S - площадь области D, а m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x,y)в области D.

 

     Пример 31. Вычислить ,если область D ограничена прямыми y = х, y = 2х, х =2, х =3.

      Решение. Вначале построим заданную область D (рис.). Как видно                            

из графика  

D = .

Тогда = 25 .                                                                                       

  

 Пример 32. Изменить порядок интегрирования в интеграле:

I = .

    Решение. Вначале по пределам интегрирования определяем область интегрирования. Полагая x равным пределам интеграла с переменной х, а y равным пределам интеграла с переменной y, получим уравнения линий, ограничивающих эту область: х = -2, х = 2, y = , y = 4.

   Построив эти линии, получим параболический сегмент ОАВ, симметричный оси О  (рис.).

    Интегрируем в другом порядке – вначале по х, затем по y. Пределы внутреннего интеграла находим, разрешая относительно х

уравнение параболы х = - и х = . Пределы внешнего интеграла y = 0 и х = 4 находим как наименьшее и наибольшее значение y во всей области ОАВ. Следовательно,

.

             Рис. 15                                                                                                                                                                                                                                                      

     Двойной интеграл в полярных координатах. Преобразование двойного интеграла от прямоугольных координат х, y к полярным координатам ρ, θ, связанным с прямоугольными координатами соотношениями

х = r cosj, y = r sinj,

осуществляется по формуле

.

  Пример 33. Перейдя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл , если D - I четверть круга .

  Решение. Полагая х = r cosj, y = r sinj, имеем уравнение окружности

r² cos²j + r² sin²j = 1 или r = 1, тогда

 = = .                                                                                            

   Вычисление площади плоской фигуры. Площадь плоской фигуры, ограниченной областью D, находится по формуле

.

    Если область D определена, например, неравенствами , то

.

    Если область D в полярных координатах определена неравенствами , то

.

 

       Пример 34. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 

                 , x + y = 6.

 

 

    

 Решение. Построим данную область Д: , x + y = 6 (рис.16). Найдем координаты точек пересечения заданных линий, решая систему уравнений:  и

x + y = 6. В результате получим А(4;2), В(3;3). Таким образом,

D=  и площадь области равна:                                                                

                                         

 dy =                                                

=  (кв.ед.).       

 

   

Криволинейные интегралы

   Криволинейный интеграл 1 - го рода. Пусть функция f(x,y) определена и непрерывна в точках дуги АВ гладкой кривой L. Разобьём дугу АВ произвольным образом на n элементарных дуг точками А = А₀, А₁,…,А_n = В, имеющих длину ∆σ , ∆σ , …, ∆σ . Выберем на каждой элементарной дуге произвольную точку P  (ξ ;η_к) и умножим значение функции в точки P  на длину соответствующей дуги.

   Интегральной суммой для функции f(x,y) по длине дуги АВ называется сумма вида

.

Если при max s  интегральная сумма имеет определенный конечный предел

I = ,

то этот предел называется криволинейным интегралом по длине дуги АВ от функции f(x, y) и обозначается следующим образом:

.

   Если кривая задана уравнением у = j(х) (а £ х £ в), то

.

Если кривая задана параметрическими уравнениями х = х(t), y = y(t) (a£ t £ b), то

.

Основные свойства криволинейного интеграла 1 - го рода:

1. Криволинейный интеграл 1 - го рода не зависит от направления пути интегрирования: .

2. .

3. к , где к - константа.

4. Если К = К₁ÈК₂, то .

    Пример 35. Вычислить интеграл , где L - дуга параболы

у² = 2х от точки (0,0) до точки (4,2 ).

   Решение. Здесь линию удобно задать в форме, разрешенной относительно х:    х = . Тогда х¢ = у и интеграл преобразуется к виду  = = .

 

      Криволинейный интеграл 2 - го рода. Пусть функции Р(х,у) и Q(x,y) непрерывны в точках дуги АВ гладкой кривой АВ. Интегральной суммой для функций Р(х,у) и Q(x,y) по координатам называется сумма вида

,

где D_к и D_к - проекции дуги на оси Ох и Оу.

   Криволинейным интегралом по координатам от выражения Р(х,у)dx+ +Q(x,y)dy по направленной дуге АВ называется предел интегральной суммы при условии, что max Dх  и max Dу :

.

  Если кривая задана уравнением у = j(х) (а £ х £ в), то

.

  Если кривая задана параметрическими уравнениями х = х(t), y = y(t) (a£ t £ b), то

.

       Основные свойства криволинейного интеграла 2 - го рода. Криволинейный интеграл 2 - го рода меняет знак на противоположный при изменении направления пути интегрирования:

.

  Остальные свойства аналогичны свойствам интеграла 1 - го рода.

      Пример 36. Вычислить интеграл , принимая за линию L:

1) отрезок прямой, соединяющий точки О (0,0) и А(1,1);

2) дугу параболы у = х², соединяющей эти же точки.

Решение:

1. Уравнение линии интегрирования у = х. Следовательно, dy = dx и = .

2. у = х², dy = 2xdx и = = =

.

 

    Криволинейные интегралы по замкнутому множеству обозначим символом  В случае замкнутого контура на плоскости направление обхода, при котором область, ограниченная контуром, остается слева (обход контура совершается против хода часовой стрелки), называется положительным.

   Формула Грина. Если функции Р(х,у) и Q(х,у) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в области Д, то имеет место формула

,

где L - граница области Д, и интегрирование вдоль L производится в положительном направлении.

   Пример 37. Применяя формулу Грина, вычислить интеграл , где L - контур прямоугольника с вершинами

О (0,0), А(5,0), В(5,4) и С(0,4).

   Решение. Так как Р(х,у) = х²+у², Q(x,y) = (х+у)², то . Таким образом = = = I, Д - область прямоугольника ОАВС (рис.17).

   Вычислим двойной интеграл по данной области Д:                                             

Д= .                                                              I= .

                             

Тема Неопределенный интеграл