Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби

  Случай 1. Знаменатель имеет только действительные различные корни, т.е. разлагается на неповторяющиеся множители первой степени.

      Пример 11. Найти интеграл

   Решение. Так как каждый из двухчленов  входит в знаменатель в первой степени, то данная правильная рациональная дробь может быть представлена в виде

      Освобождаясь от знаменателей, получим

 При х = 1 6 = 3А, А = 2;

 при х = 2 11 = -2В, В= - ;

при х = 4 27 = 6С, С = .

   Итак, разложение рациональной дроби на простейшие имеет вид

    Таким образом,

 

    Случай 2. Знаменатель имеет лишь действительные корни, причем некоторые из них кратные, т.е. знаменатель разлагается на множители первой степени и некоторые из них повторяются.

  Пример 12. Найти интеграл

  Решение.  Множителю  соответствует сумма трех простейших дробей , а множителю  - простейшая дробь    Итак, 

    Освободимся от знаменателя:

х = 1	2 = 4А; A =
x = -3	10 = -64D; D = -
x = 0	1= -3B + 3C +
x = -1	2 = 1- 4B + 8C +

Откуда В = , С = .

   Окончательное разложение данной дроби на простейшие имеет вид

Таким образом, получим

 =

 

    Случай 3. Среди корней знаменателя имеются простые комплексные корни, т.е. разложение знаменателя содержит квадратичные неповторяющиеся множители.

   Пример 14. Найти интеграл

      Решение. Разлагаем дробь на простейшие дроби

   Освобождаемся от знаменателя:

. Выпишем коэффициенты при одинаковых степенях:

при х2:	0 = А+В
x:	0 = A+C
x0:	1 = A

Откуда найдем А = 1, В = -1, С = -1.

    Итак,

 Следовательно,

= ln|x|-

- - = ln|x| - -

- +C.

 

    Случай 4. Среди корней знаменателя имеются кратные комплексные корни, т.е. разложение знаменателя содержит повторяющиеся квадратичные множители.

     Пример 13. Найти интеграл

  Решение. Так как  есть двукратный множитель, то

Освобождаясь от знаменателей, получим

 Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях :

1

   Следовательно,

=

 =

       

6. Интегрирование иррациональных функций

  Неопределенный интеграл вида  интегрируется

путем введения новой переменной .

    Интегралы вида   интегрируются путем выделения полного квадрата из квадратного трехчлена.

   Пример 15. Вычислить интеграл .

    Решение:

=

= , где

     Пример 16. Вычислить интеграл .

     Решение:

=

 

   Интеграл вида , где n Î Z, интегрируются путем введения новой переменной t ⁿ = ax + b.

        Пример 17. Вычислить интеграл .

    Решение:

=

= -2t-2 = -2 +С.

     Интегралы вида , где P_n (x) - многочлен степени n, вычисляются с помощью реккурентной формулы

= ,     (21)

где Q _{n - 1} (x) - многочлен степени (n - 1) с неопределенными коэффициентами и l - число. Коэффициенты многочлена и число l находятся при помощи дифференцирования тождества (21).

      Пример 18. Вычислить интеграл .

      Решение. Применяем формулу (21):

= (Ах+В) . Дифференцируем это тождество: . Откуда

х² = А(х² + 4) + х(Ах+В) + l.

Выпишем коэффициенты при одинаковых степенях:

х²: 1 = А +А

х: 0 = Вх

х⁰: 0 = 4A + l.

Итак, А = , В = 0, l = -2. Следовательно,

= = +С.

 

        Интеграл от дифференциального бинома , где m, n, p - рациональные числа:

1) если р - целое число, то делаем замену х = t ^s, где s - общий знаменатель дробей m и n;

2) если - целое число, то делаем замену а+bх ⁿ = t ^s, где s - знаменатель дроби р;

3) если +р - целое число, то делаем замену ах ^{– n}+b = t ^s, где s - знаменатель дроби р.

     Пример 19. Вычислить интеграл

       Решение:

= =