Комплексно сопряженные числа

Определение

Если , то число называется комплексным сопряженным к числу .

То есть у комплексно сопряженных чисел действительные части равны, а мнимые отличаются знаком.

Например. Комплексно сопряженным к числу есть число .

На комплексной плоскости комплексно сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно действительной оси.

Свойства комплексно сопряженных чисел

1) Если , то можно сделать вывод, что рассматриваемое число является действительным.

Например. и

2) Для любого комплексного числа сумма - действительное число.

Например. Пусть , тогда , а тогда

3) Для произвольного комплексного числа произведение .

Например. Пусть , комплексно сопряженное к нему число , тогда произведение

4) Модули комплексно сопряженных чисел равны: , а аргументы отличаются знаком (рис. 1).

5)

6)

7)

8)

9) Если и - комплексно сопряженные числа, то

Операции с комплексными числами в алгебраической форме

Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением комплексных чисел в алгебраической форме, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные (как операции над алгебраическими двучленами), при этом надо учесть, что .

Пример

Задание. Найти сумму и произведение комплексных чисел и .

Решение. Чтобы найти сумму заданных комплексных чисел, складываем соответственно их действительные и мнимые части:

Произведение равно

Ответ.

Сложение и вычитание комплексных чисел

Сложение комплексных чисел

Определение

Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число , которое равно

То есть суммой двух комплексных чисел есть комплексное число, действительная и мнимая части которого есть суммой действительных и мнимых частей чисел-слагаемых соответственно.

Пример

Задание. Найти сумму , если , .

Решение. Искомая сумма равна

Ответ.

Вычитание комплексных чисел

Определение

Разностью двух комплексных чисел и называется комплексное число , действительная и мнимая части которого есть разностью действительных и мнимых частей чисел и соответственно:

Пример

Задание. Найти разность , если , .

Решение. Действительная часть искомого комплексного числа равна разности действительных частей чисел и , а мнимая - мнимых частей этих чисел, то есть

Ответ.

Умножение комплексных чисел

Умножение комплексных чисел в алгебраической форме

Определение

Произведением двух комплексных чисел и называется комплексное число , равное

На практике чаще всего комплексные числа перемножают как алгебраические двучлены , просто раскрыв скобки, в полученном результате надо учесть, что .

Пример

Задание. Найти произведение комплексных чисел и .

Решение. Перемножим заданные комплексные числа как два двучлена, то есть

Ответ.

Деление комплексных чисел