Матричная запись систем уравнений

Исходную СЛАУ можно записать в матричном виде:

,

где матрица называется матрицей системы, это матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных; - вектором-столбцом неизвестных, - вектором-столбцом правых частей или свободных коэффициентов.

Пример

Задание. Систему записать в матричной форме и выписать все матрицы, которые ей соответствуют.

Решение. Заданную СЛАУ записываем в матричной форме , где матрица системы:

вектор-столбец неизвестных:

вектор-столбец свободных коэффициентов:

то есть, запись СЛАУ в матричной форме:

Расширенная матрица системы

Определение

Расширенной матрицей системы называется матрица, полученная из матрицы системы , дописыванием справа после вертикальной черты столбца свободных членов.

Пример

Задание. Записать матрицу и расширенную матрицу системы

Решение. Матрица системы , тогда расширенная матрица

Критерий совместности системы

Теорема

Теорема Кронекера-Капелли. СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Пример

Задание. При каких значениях система будет совместной?

Решение. Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк после приведения этой матрицы к ступенчатому виду. Поэтому записываем расширенную матрицу системы (слева от вертикальной черты находится матрица системы ):

и с помощью элементарных преобразований приводим ее к ступенчатому виду. Для этого вначале от первой строки отнимаем две вторых строки, а от третьей вторую, в результате получаем:

Третью строку складываем с первой:

и меняем первую и вторую строки матрицы местами

Матрица приведена к ступенчатому виду. Получаем, что , . Таким образом, при система совместна, а при - несовместна.

Квадратные СЛАУ. Матричный метод решения

Замечание

Запишем заданную систему в матричном виде:

Если матрица невырождена, то тогда с помощью операций над матрицами выразим неизвестную матрицу . Операция деления на множестве матриц заменена умножением на обратную матрицу, поэтому домножим последнее равенство на матрицу слева:

Поэтому, чтобы найти неизвестную матрицу надо найти обратную матрицу к матрице системы и умножить ее справа на вектор-столбец свободных коэффициентов.

Замечание

Данный метод удобно применять тогда, когда нужно решить много одинаковых систем с разными правыми частями.

Примеры решения систем уравнений

Пример

Задание. Найти решение СЛАУ матричным методом.

Решение. Выпишем матрицу системы и матрицу правых частей . Найдем обратную матрицу для матрицы системы. Для матрицы второго порядка обратную можно находить по следующему алгоритму: 1) матрица должна быть невырождена, то есть ее определитель не должен равняться нулю: ; 2) элементы, стоящие на главной диагонали меняем местами, а у элементов побочной диагонали меняем знак на противоположный и делим полученные элементы на определитель матрицы. Итак, получаем, что

Тогда

Две матрицы одного размера равны, если равны их соответствующие элементы, то есть в итоге имеем, что ,

Ответ. ,

Пример

Задание. Решить с помощью обратной матрицы систему

Решение. Запишем данную систему в матричной форме:

,

где - матрица системы, - столбец неизвестных, - столбец правых частей. Тогда

Найдем обратную матрицу к матрице с помощью союзной матрицы:

Здесь - определитель матрицы ; матрица - союзная матрица, она получена из исходной матрицы заменой ее элементов их алгебраическими дополнениями. Найдем , для этого вычислим алгебраические дополнения к элементам матрицы :

Таким образом,

Определитель матрицы

А тогда

Отсюда искомая матрица

Ответ.

Метод Крамера

Метод Крамера (теорема Крамера) — способ решения квадратных СЛАУ с ненулевым определителем основной матрицы. Назван по имени Габриэля Крамера, автора метод.

Теорема Крамера

Теорема

Теорема Крамера. Если определитель матрицы квадратной системы не равен нулю, то система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

где - определитель матрицы системы, - определитель матрицы системы, где вместо -го столбца стоит столбец правых частей.

Замечание

Если определитель системы равен нулю, то система может быть как совместной, так и несовместной.

Замечание

Данный метод удобно применять для маленьких систем с громоздкими вычислениями, а так же если нужно найти одну из неизвестных. Трудность заключается в том, что необходимо считать много определителей.

Примеры решения систем уравнений

Пример

Задание. Найти решение СЛАУ при помощи метода Крамера.

Решение. Вычисляем определитель матрицы системы:

Так как , то по теореме Крамера система совместна и имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители. Определитель получим из определителя заменой его первого столбца столбцом свободных коэффициентов. Будем иметь:

Аналогично, определитель получается из определителя матрицы системы заменой второго столбца столбцом свободных коэффициентов:

Тогда получаем, что

Ответ. ,

Пример

Задание. При помощи формул Крамера найти решение системы

Решение. Вычисляем определитель матрицы системы:

Так как определитель матрицы системы неравен нулю, то по теореме Крамера система совместна и имеет единственное решение. Для его нахождения вычислим следующие определители:

Таким образом,

Ответ.