Определение двугранного угла.

Углом на плоскости называется фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки. В стереометрии наряду с такими углами рассматривается ещё один вид углов - двугранные углы.

Определение. Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей в виде прямой а, не принадлежащими одной плоскости.

Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями. Прямая а, которая является общей границей полуплоскостей, называется ребром двугранного угла (рис. 1а, 1б).

 

 

Рис. 1а Прямая а разделяет        Рис.1б Двугранный угол.          Рис 1в. Угол АОВ -линейный.

плоскость на две

полуплоскости

 

 

Двугранный угол с ребром CD, на разных гранях которого отмечены точки A и B называют двугранным углом CABD.

Перпендикуляры к ребру AO и BO образуют линейный угол двугранного угла AOB (рис.1в). Так как луч ОА перпендикулярен прямой CD и луч OB перпендикулярен прямой CD, то плоскость АОВ перпендикулярна к прямой CD. Таким образом, плоскость линейного угла перпендикулярна к ребру двугранного угла. Двугранный угол имеет бесконечное множество линейных углов.

Все линейные углы двугранного угла равны друг другу.

Рассмотрим два линейных угла АОВ и А₁О₁В₁ (рис. 1г).

Лучи ОА и О₁А₁, лежат в одной грани и перпендикулярны

 к прямой ОО₁, поэтому они сонаправлены. Точно так же

сонаправлены лучи OB и O₁B₁. Поэтому углы АОВ и А₁О₁В₁

 равны как углы с сонаправленными сторонами.

Виды двугранных углов.

Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла. Это означает, что, сколько градусов радиан содержится в линейном угле, столько же градусов радиан содержится в его двугранном угле. В соответствии с этим различают следующие виды двугранных углов:

- острый, если его линейный угол острый, т.е. ) (рис.2а);

- прямой, когда его линейный угол равен 90°, т.е.  (рис. 2б);

- тупой, когда его линейный угол тупой, т.е. ) (рис. 2в).

 

Рис.2а Острый угол. Рис. 2б Прямой угол.               Рис. 2в Тупой угол.

Признак перпендикулярности двух плоскостей.

Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром (рис.3а). Если один из этих двугранных углов равен , то другие три угла равны соответственно ,   и . В частности, если один из углов прямой ( ), то и остальные три угла прямые. Если тот из четырёх углов, который не превосходит каждого из остальных, то говорят, что угол между пересекающимися плоскостями равен   .

Рис. 3а                  Рис. 3б

Рис. 3а                              Рис.3б

Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), е сли угол между ними равен φ = 90°.

Пример взаимно перпендикулярных плоскостей - плоскости стены и пола комнаты.

Рассмотрим признак перпендикулярности двух плоскостей.

Теорема. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Дано: α, β, АВ лежит в плоскости α, АВ ⊥ β,

АВ ∩ α = А (рис. 3).

Доказать: α ⊥ β.

Доказательство: α ∩ β= АС, АВ⊥АС, так как АВ⊥β

по условию. Проведем в плоскости β AD⊥AC.

∠BAD - линейный угол двугранного угла.

Но ∠BAD=90°, так как ВА⊥ β. Значит, α⊥β. Ч.т.д.