Из этой теоремы вытекает важное следствие:

Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.

 

Прямоугольный параллелепипед.

На рисунке справа представлен прямоугольный

Параллелепипед. У этой фигуры все боковые ребра

Перпендикулярны основанию.

Его основаниями служат прямоугольники ABCD и А₁В₁С₁ D ₁, а

боковые ребра А А₁, B В₁, C С₁ и D D ₁ перпендикулярны к основаниям. Отсюда следует, что ребро А А₁ перпендикулярно к ребру АВ, т. е. боковая грань А А₁В₁ В является прямоугольником. То же самое можно сказать и об остальных боковых гранях.

Таким образом, прямоугольный параллелепипед обладает следующими свойствами:

1) в прямоугольном параллелепипеде все шесть граней - прямоугольники;

2) все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда - прямые;

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (Теорема).

Измерениями прямоугольного параллелепипеда называются длины трех ребер, имеющих общую вершину.

Докажем последнее свойство, а именно: .

Доказательство: Так как ребро С С₁ перпендикулярно к

основанию ABCD, то угол АС С₁, прямой. Из прямоугольного

треугольника АС С ₁, по теореме Пифагора получаем:

Но АС - диагональ прямоугольника ABCD, поэтому

. Кроме того, ребро С С₁   равно ребру А А₁.

Следовательно, . Что и требовалось доказать. Рис.4

Следствие из этого свойства: диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

Стоит отметить, что если у прямоугольного параллелепипеда все три измерения равны, то он называется кубом. Все грани куба - равные друг другу квадраты.

5. Решение задач.

Задача 1.

АВСD – тетраэдр.

1. Построить линейный угол двугранного угла с ребром АВ.

2. Построить линейный угол двугранного угла с ребром АС.

Построение:

1. Речь идет о двугранном угле, который образован ребром АВ

и гранями АВD и АВС. Проведем прямую DН перпендикулярно

 плоскости АВС, Н – основание перпендикуляра. Проведем

наклонную DМ перпендикулярно прямой АВ, М – основание

 наклонной. По теореме о трех перпендикулярах заключаем, что проекция наклонной НМ также перпендикулярна прямой АВ. То есть, из точки М восстановлены два перпендикуляра к ребру АВ в двух гранях АВD и АВС. Мы получили линейный угол DМН.

Заметим, что АВ, ребро двугранного угла, перпендикулярно плоскости линейного угла, т. е. плоскости DМН. Задача решена.

Замечание. Двугранный угол можно обозначить следующим образом: DАВС, где

АВ – ребро, а точки D и С лежат в разных гранях угла.

2. Проведем перпендикуляр DН к плоскости АВС и наклонную DN перпендикулярно прямой АС. По теореме о трех перпендикулярах получаем, что НN – проекция наклонной DN на плоскость АВС, также перпендикулярна прямой АС.DNН – линейный угол двугранного угла с ребром АС.

Задача 2.

В тетраэдре DАВС все ребра равны. Точка М – середина ребра АС. Докажите, что угол DМВ – линейный угол двугранного угла ВАСD, т. е. двугранного угла с ребром АС. Одна его грань – АСD, вторая – АСВ.

Решение:

Треугольник ADC – равносторонний, DM – медиана, а значит и

высота. Значит, DМ ⊥ АС. Аналогично, AВC – равносторонний,

ВM – медиана, а значит, и высота. Значит, ВМ ⊥ АС.

Таким образом, из точки М ребра АС двугранного угла

 восстановлено два перпендикуляра DM и ВМ к этому ребру в

гранях двугранного угла.

Значит, ∠ DMВ – линейный угол двугранного угла, что и требовалось доказать.

Задача 3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 боковая грань DD1C1C – квадрат, DC = 4 см, BD1 = 6 см. Найдите BC и докажите, что плоскости BCD1 и DC1B1 взаимно перпендикулярны.

Решение. Найдем BC. Воспользуемся тем свойством