Уравнение состояния для равновесной по скоростям газожидкостной системы

МОДЕЛИ ГЕТЕРОГЕННЫХ СИСТЕМ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ ГИДРОДИНАМИКИ ДИСПЕРСНЫХ СИСТЕМ

 

В окрестности точки, определяемой радиусом вектором  берем частицу с объемом  и с общей массой , при этом полагаем, что

 

 >> >> >>

 

где  характерный линейный разрез задачи,  и  -линейные размеры дисперсных частиц и среднее расстояние между соседними частицами.

Для дисперсной системы, состоящей из двух составляющих, можно записать

 

= + и = +                                            (1.1)

 

где  и  части объема и массы в , приходящиеся к

-ой фазе. Введем следующие параметры [1]

 

 ,  ,                                   (1.2)

 ,  ,

 

Здесь - средняя плотность смеси в целом и , - средние и истинные плотности фаз,  и  - объемные и массовые содержания (или концентрации) фаз. Очевидно, что из определения этих параметров следует зависимость между ними в виде, используя [1]

, ,                                                 (1.3)

,

 

Кроме того, на основе первого соотношения из (1.1) с учетом (1.2) нетрудно получить

 

                                                                        (1.4)

 

Пусть  и  - число дисперсных частиц в единице объема массы дисперсной системы, тогда между этими параметрами имеется следующая связь

 

                                                                             (1.5)

 

Для дальнейшего примем, что дисперсная фаза представляет собой сферические частицы одинакового радиуса . Тогда имеет место кинематическая связь [1]

 

                                                                      (1.6)

 

ОДНОСКОРОСТНАЯ МОДЕЛЬ

 

Уравнения неразрывности. Примем, что составляющие смеси движутся с одинаковыми скоростями (). Это означает, что в изучаемой проблеме скольжение фаз несущественно. Например, рассматриваются медленные процессы, когда характерные времена задачи значительно превышают времена релаксации скоростей неравновесности  для двухфазной смеси . По аналогии с обычными однофазными системами в этом случае должно иметь место следующее уравнение сохранения массы для всей смеси в целом [1]

 

 или                                            (2.1)

,

 

Эти уравнения можно записать, используя

 

 или                                      (2.2)

или

 

Пусть, в общем случае, может происходить массообмен между составляющими двухфазной системы. Такая ситуация может иметь место, например, в парокапельной смеси. Пар может конденсироваться, или, наоборот, капельки могут испаряться. Введем параметры  и , описывающие интенсивность перехода массы из первой фазы во вторую и, наоборот, из второй фазы в первую. Эти параметры отнесены к единице объема смеси. Тогда для каждой составляющей двухфазной системы можем записать следующие уравнения, выражающие закон сохранения масс [1]

 

                                     (2.3)

и

 

Используя теорему Гаусса-Остроградского, из (2.3) можем получить уравнение неразрывности в форме Эйлера [1]

 

 и                       (2.4)

 

Складывая эти уравнения, получаем уравнение неразрывности (2.1) для всей смеси в целом. При этом необходимо отметить, что введенные параметры для описания межфазного массообмена должны удовлетворять условию

 

 

Следовательно, достаточно задавать один из этих параметров  (или ). Для определенности в последующем примем обозначения  тогда

. В случае отсутствия массообмена между фазами имеет место .

Запишем уравнение импульсов для первой фазы  в терминал истинная плотность - объемная концентрация при  как

                                                          (2.5)

 

Если это составляющее несжимаемое , отсюда следует

 

                                                                 (2.6)

 

В том случае, когда вторая фаза также несжимаема, то аналогично с (2.6) будем иметь

 

                                                                 (2.7)

 

Складывая уравнения (2.6) и (2.7) с учетом  получим

 

                                                                             (2.8)

 

Таким образом, в случае, когда обе фазы несжимаемые, уравнение неразрывности сводится для поля скоростей к обычному виду для несжимаемой однофазной среды.

Подставляя в уравнение неразрывности среднюю плотность в виде  и учитывая уравнение неразрывности для всей смеси в целом (2.1) можем получить:

 

 или                                                    (2.9)

 

Если предположить, что при течении дисперсной системы не происходит образование и исчезновение дисперсных частиц (отсутствуют процессы дробления или слипания частиц, например), то аналогично с уравнениям неразрывности фаз, можно записать уравнение сохранения числа дисперсных частиц

 

                                                                    (2.10)

 

Подставляя сюда выражение  из (1.5) с учетом уравнения неразрывности всей смеси (2.1) получим:

 

или                                                (2.10)

 

На основе кинематических зависимостей (1.3) нетрудно получить формулы, связывающие массовые и объемные концентрации фаз как

 

,                                              (2.11)

,                                                (2.12)

 

Уравнение импульсов. Будем полагать, что двухфазную систему в целом можно рассмотреть как идеальную среду с введением для нее еще одного параметра, а именно давления . Это допущение означает, что тензор напряжений является чисто шаровым и его компоненты можно записать в виде

 

, ; ,                            (2.13)

где  - символ Кронекера. Тогда уравнение импульсов для всей смеси в целом запишется в виде

 

                                                                 (2.14)

(k=1,2,3)                                                (2.15)

 

Здесь  - удельномассовая сила.

В том случае, когда течение потенциальное, массовые силы потенциальные, а смесь в целом можно считать баротропной средой , уравнение импульсов (2.14) сводится к интегралу Коши-Лагранжа

 

                                                         (2.16)

 

Уравнение неразрывности (2.2) при этом можно привести к виду

 

                                                     (2.17)

 

Введенный здесь параметр , как известно, выражает скорость звука в среде. Таким образом, система уравнений для равновесной по скоростям двухфазной системы, в рамках вышепринятых допущениях сводится к двум уравнениям из (2.16.) и (2.17). При этом основная проблема сводится к построению уравнения состояния вида  или  с учетом специфики конкретных двухфазных систем.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

В данной курсовой работе мы провели теоретическое исследование зависимости фазовой скорости и коэффициента затухания от частоты в смеси воды с воздушными включениями при значениях объемного содержания газовой фазы αg0 =10-3 и 10-4. Провели сравнительный дисперсионный анализ двух пузырьковых жидкостей с различными несущими фазами. Пришли к выводу, что скорость звука в водовоздушной и спиртовоздушной смесях распространяется одинаково и стремится к скорости звука в чистой жидкости. Что касается коэффициентов затухания, то они практически совпадают.

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. М.: Наука, 1987.

2. Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г., Шрейбер И.Р. Волновая динамика газо- и парожидкостных сред. М.: Энергоатомиздат, 1990. 248 с.

3. Нигматуллин Р. И., Шагапов В. Ш., Вахитова Н. К. Проявление сжимаемости несущей фазы при распространении волн в пузырьковой среде ДАН СССР. 1989. Т. 304. № 35. С. 1077-1081.

4. Лепендин Л.Ф. Акустика. М.: Высшая школа, 1978.

5. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. М.: Наука, 1972.

6. Сарапулова В.В. Особенности преломления и отражения звука на границе раздела между водой и пузырьковой жидкостью // Вестник КемГУ. Вып. 2 (58). Т.2. 2014.

МОДЕЛИ ГЕТЕРОГЕННЫХ СИСТЕМ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ ГИДРОДИНАМИКИ ДИСПЕРСНЫХ СИСТЕМ

 

В окрестности точки, определяемой радиусом вектором  берем частицу с объемом  и с общей массой , при этом полагаем, что

 

 >> >> >>

 

где  характерный линейный разрез задачи,  и  -линейные размеры дисперсных частиц и среднее расстояние между соседними частицами.

Для дисперсной системы, состоящей из двух составляющих, можно записать

 

= + и = +                                            (1.1)

 

где  и  части объема и массы в , приходящиеся к

-ой фазе. Введем следующие параметры [1]

 

 ,  ,                                   (1.2)

 ,  ,

 

Здесь - средняя плотность смеси в целом и , - средние и истинные плотности фаз,  и  - объемные и массовые содержания (или концентрации) фаз. Очевидно, что из определения этих параметров следует зависимость между ними в виде, используя [1]

, ,                                                 (1.3)

,

 

Кроме того, на основе первого соотношения из (1.1) с учетом (1.2) нетрудно получить

 

                                                                        (1.4)

 

Пусть  и  - число дисперсных частиц в единице объема массы дисперсной системы, тогда между этими параметрами имеется следующая связь

 

                                                                             (1.5)

 

Для дальнейшего примем, что дисперсная фаза представляет собой сферические частицы одинакового радиуса . Тогда имеет место кинематическая связь [1]

 

                                                                      (1.6)

 

ОДНОСКОРОСТНАЯ МОДЕЛЬ

 

Уравнения неразрывности. Примем, что составляющие смеси движутся с одинаковыми скоростями (). Это означает, что в изучаемой проблеме скольжение фаз несущественно. Например, рассматриваются медленные процессы, когда характерные времена задачи значительно превышают времена релаксации скоростей неравновесности  для двухфазной смеси . По аналогии с обычными однофазными системами в этом случае должно иметь место следующее уравнение сохранения массы для всей смеси в целом [1]

 

 или                                            (2.1)

,

 

Эти уравнения можно записать, используя

 

 или                                      (2.2)

или

 

Пусть, в общем случае, может происходить массообмен между составляющими двухфазной системы. Такая ситуация может иметь место, например, в парокапельной смеси. Пар может конденсироваться, или, наоборот, капельки могут испаряться. Введем параметры  и , описывающие интенсивность перехода массы из первой фазы во вторую и, наоборот, из второй фазы в первую. Эти параметры отнесены к единице объема смеси. Тогда для каждой составляющей двухфазной системы можем записать следующие уравнения, выражающие закон сохранения масс [1]

 

                                     (2.3)

и

 

Используя теорему Гаусса-Остроградского, из (2.3) можем получить уравнение неразрывности в форме Эйлера [1]

 

 и                       (2.4)

 

Складывая эти уравнения, получаем уравнение неразрывности (2.1) для всей смеси в целом. При этом необходимо отметить, что введенные параметры для описания межфазного массообмена должны удовлетворять условию

 

 

Следовательно, достаточно задавать один из этих параметров  (или ). Для определенности в последующем примем обозначения  тогда

. В случае отсутствия массообмена между фазами имеет место .

Запишем уравнение импульсов для первой фазы  в терминал истинная плотность - объемная концентрация при  как

                                                          (2.5)

 

Если это составляющее несжимаемое , отсюда следует

 

                                                                 (2.6)

 

В том случае, когда вторая фаза также несжимаема, то аналогично с (2.6) будем иметь

 

                                                                 (2.7)

 

Складывая уравнения (2.6) и (2.7) с учетом  получим

 

                                                                             (2.8)

 

Таким образом, в случае, когда обе фазы несжимаемые, уравнение неразрывности сводится для поля скоростей к обычному виду для несжимаемой однофазной среды.

Подставляя в уравнение неразрывности среднюю плотность в виде  и учитывая уравнение неразрывности для всей смеси в целом (2.1) можем получить:

 

 или                                                    (2.9)

 

Если предположить, что при течении дисперсной системы не происходит образование и исчезновение дисперсных частиц (отсутствуют процессы дробления или слипания частиц, например), то аналогично с уравнениям неразрывности фаз, можно записать уравнение сохранения числа дисперсных частиц

 

                                                                    (2.10)

 

Подставляя сюда выражение  из (1.5) с учетом уравнения неразрывности всей смеси (2.1) получим:

 

или                                                (2.10)

 

На основе кинематических зависимостей (1.3) нетрудно получить формулы, связывающие массовые и объемные концентрации фаз как

 

,                                              (2.11)

,                                                (2.12)

 

Уравнение импульсов. Будем полагать, что двухфазную систему в целом можно рассмотреть как идеальную среду с введением для нее еще одного параметра, а именно давления . Это допущение означает, что тензор напряжений является чисто шаровым и его компоненты можно записать в виде

 

, ; ,                            (2.13)

где  - символ Кронекера. Тогда уравнение импульсов для всей смеси в целом запишется в виде

 

                                                                 (2.14)

(k=1,2,3)                                                (2.15)

 

Здесь  - удельномассовая сила.

В том случае, когда течение потенциальное, массовые силы потенциальные, а смесь в целом можно считать баротропной средой , уравнение импульсов (2.14) сводится к интегралу Коши-Лагранжа

 

                                                         (2.16)

 

Уравнение неразрывности (2.2) при этом можно привести к виду

 

                                                     (2.17)

 

Введенный здесь параметр , как известно, выражает скорость звука в среде. Таким образом, система уравнений для равновесной по скоростям двухфазной системы, в рамках вышепринятых допущениях сводится к двум уравнениям из (2.16.) и (2.17). При этом основная проблема сводится к построению уравнения состояния вида  или  с учетом специфики конкретных двухфазных систем.

УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ РАВНОВЕСНОЙ ПО СКОРОСТЯМ ГАЗОЖИДКОСТНОЙ СИСТЕМЫ

 

Вместо индексов (1) и (2), соответствующих первой и второй фазам для газожидкостной смеси будем использовать соответственно нижние индексы  и . Пусть фазовые переходы отсутствуют . Для дальнейшего обозначим , . Тогда из уравнения неразрывности следует (2.9), которое запишется как

 

или                                                 (3.1)

 

Выражения (1.4) для средней плотности имеет вид

 

                                                                      (3.2)

 

Будем полагать, что в процессе движения жидкость ведет себя как акустически сжимаемая среда, а поведение газа политропическое. Тогда можем записать

 

 и                                  (3.3)

 

Здесь  и  - значения плотности, соответствующие значениям давления  и ;  - величины скорости звука для жидкостной фазы, γ- показатель политропы. В частности, если поведение газа изотермическое, то γ=1, а если адиабатическое, то величина γ равна показателю адиабаты для данного газа.

В дальнейшем будем считать, что давление в фазах равны  и, кроме того, вместо  и  примем одно и тоже значение давления . Вместо  обычно будем использовать значение давления для некоторого исходного равновесного состояния. Подставляя значение , из (3.3) в (3.2) получим

 

                                              (3.4)

 

Таким образом, получим уравнение состояния вида

 

 

В этом уравнении, величины , определяющие исходное состояние системы и свойства составляющих (газа и жидкости), входят как некоторые постоянные параметры. Что касается величины массового содержания газа , то для каждой лагранжевой частицы оно будет постоянным параметром. При эйлеровом описании, в общем случае массовое газосодержание  зависит как от времени, так и от пространственных координат  Однако, если для некоторого состояния оно (например, при  - однородно , то массовое газосодержание будет постоянным и по времени и по координате. В дальнейшем будем рассматривать именно такие ситуации. Тогда в (3.5) х также будет постоянный параметр. В этом случае при течении такой смеси величина плотности будет определяться значением давления и, следовательно, газожидкостная смесь в целом будет баротропной средой.

Определим скорость звука для такой среды.

Для этого продифференцируем левую и правую части уравнения (3.4) по давлению . Тогда будем иметь

 

,       (3.5)

 

Это уравнение можно записать как

 

                              (3.6)

 

Формула (3.6) совместно с (3.4) дает зависимость величины скорости звука от текущего давления .

Как уже отмечено, если для исходного равновесного состояния газожидкостная смесь однородна, то в (3.6) имеет место , где - значение массового содержания газа для исходного состояния. В этом случае на основании (2.11) можем записать:

 

                                                         (3.7)

 

Подставляя это выражение для  вместо  в (3.4) и (3.6), получим уравнение состояния и формулу для скорости звука, в которых в качестве параметра, ответственного за состав смеси, фигурирует начальное объемное газосодержание . Определим скорость звука для исходного состояния. Подставляя в формулу (3.6) , получим

 

(3.8)

Отсюда при  и  соответственно получим выражение для скорости звука для «чистых» газа и жидкости

 

и                                                       (3.9)

 

Проанализируем формулу (3.8) для случая, когда массовое газосодержание мало . Из формулы (3.7), учитывая при этом, что в большинстве случаев имеет место , получим

 

                                                                        (3.10)

 

Отсюда видно, что это условие  выполняется для объемных содержаний газовой фазы, удовлетворяющих условию

 

                                                                       (3.11)

 

Для водовоздушной смеси при нормальных условиях, например, имеет место , поэтому неравенство (3.11) выполняется и при объемных содержаниях газа .

В этом случае, с учетом , из (3.8) получим следующую формулу для скорости звука

 

                                          (3.12)

Из этой формулы следует, что вклад сжимаемости жидкости, определяемый вторым слагаемым в подкоренном выражении (3.12), растет с уменьшением объемного содержания газа .

Проанализируем эту формулу для пузырьковой жидкости (). Пренебрегая  по сравнению с единицей из (3.12) получим

 

                                                                 (3.13)

 

Отсюда получим, что сжимаемость жидкости в плане определения скорости звука скажется при

 

                                                              (3.14)

 

Для водовоздушной смеси при нормальных условиях  имеем . Следовательно, сжимаемость жидкости проявляется лишь при очень низких объемных содержаниях газа.

Пренебрегая сжимаемостью жидкости (формально полагая в (3.12) ), для скорости звука получим формулу Мэллока

 

                                                                  (3.15)

 

Из этой формулы нетрудно видеть, что минимальная величина скорости звука достигается при . Для этой скорости из (3.15) следует

 

                                                                          (3.16)

 

Для водовоздушной смеси при нормальных условиях отсюда имеем .