Основные уравнения для пузырьковой жидкости

 

Уравнение неразрывности. Пусть в жидкости газовая фаза находится в виде распределенных по объему пузырьков с радиусом , являющимся функцией времени и координат. Параметры, относящиеся к жидкости и газу, будут снабжаться индексами = и . При отсутствии массообмена между фазами уравнения неразрывности жидкости запишется как:

 

                                                                 (5.1)

 

Уравнение, сохранения массы газовой фазы в случае отсутствия дробления и слипания пузырьков примем в виде

 

,                                                       (5.2)

 

где - масса одного пузырька. Из этого уравнения в частности следует, что если для некоторого исходного состояния истинная плотность газовой фазы  и радиуса пузырьков  в пространстве однородны, то

 

 или                                         (5.3)

 

Кроме того, в рамках принятых допущений, можно записать уравнение сохранения числа пузырьков в виде:

 

                                                                    (5.4)

Помножив это уравнение на , после нескольких преобразований можем получить уравнение неразрывности газовой фазы в виде

 

                                                               (5.5)

 

Уравнение импульсов. Рассматривая пузырьковую жидкость в целом идеальной средой, запишем уравнение импульсов смеси в целом

 

                                   (5.6)

 

Для пузырьковой жидкости всегда имеет место условие . Поэтому, в тех случаях, когда ускорения фаз сопоставимы

 

,

 

уравнение (5.6) можно упростить до вида:

 

)                                          (5.7)

 

Поскольку для пузырьковой жидкости , здесь и в дальнейшем среднее давление в смеси будем отожествлять со средним давлением в жидкостной фазе. Таким образом, уравнение импульсов для смеси в целом фактически совпадает с уравнением импульсов для несущей фазы.

Запишем для одного пузырька уравнение второго закона Ньютона

 (5.8)

 

Поскольку , в этом уравнении можно пренебречь слагаемыми с коэффициентом . Тогда из (5.8) с учетом (5.7) и связи  получим

 

    (5.9)

 

Если массовые силы отсутствуют , пренебрегая вторым и третьими слагаемыми в правой части (5.3) с учетом того, что для пузырьковой жидкости , из уравнения (5.9) следует

 

                                                                      (5.10)

 

Если в исходном состоянии пузырьковая жидкость находится в покое , то при инициировании течения в такой смеси скорости фаз будут связаны как:

 

                                                                             (5.11)

 

Уравнение для изменения давления в пузырьках. Будем учитывать, что давление в пузырьках может отличаться от среднего давления в смеси. Поэтому уравнение Клапейрона-Менделеева для газовой фазы запишем в виде:

                                                                        (5.12)

 

В качестве исходного уравнения запишем уравнения первого начала термодинамики для одного пузырька как

 

,                         (5.13)

 

Здесь  и  - внутренняя энергия и теплоемкость газа при постоянном объеме, - интенсивность отвода тепла, отнесенная к одному пузырьку. С учетом уравнения состояния (5.12) внутреннюю энергию для одного пузырька можно представить как

 

                                                           (5.14)

 

где - показатель адиабаты. Подставляя (5.14) в (5.13) получим следующее уравнение для давления

 

                                            (5.15)

 

При отсутствии теплообмена  уравнение (5.15) можно привести к виду

 

                                                                   (5.16)

 

Если для исходного равновесного состояния  при , и распределения - однородно, отсюда получим

 

                                                                     (5.17)

 

Уравнение радиального движения пузырьков. Самой главной особенностью пузырьковой жидкости является проявление инерции жидкости при изменении объема пузырьков (при их сжатии или расширении). Для учета этого эффекта примем, что среднее давление в жидкости  и давление газа  связаны уравнением Релея-Ламба. С учетом относительного движения фаз, вязкости жидкости и капиллярного давления на межфазной поверхности это уравнение имеет вид:

 

   (5.18)

 

где - коэффициент поверхностного натяжения.

Для замыкания представленной системы уравнений необходимо добавить уравнение состояния несущей жидкости и кинетику межфазного теплообмена. В зависимости от решаемой задачи несущую фазу можно считать несжимаемой или акустически сжимаемой жидкостью.

Интенсивность теплообмена задается аналогично случаю запыленного газа по формуле

 

                                                            (5.19)

 

При этом для рассматриваемой смеси жидкость можно принять термостатом .

Наиболее важной и сложной является корректное задание безразмерного числа Нуссельта .

Оказывается, в волновых процессах, эволюции возмущений сильно зависят от характера теплопроводности в газовой фазе и следовательно, от его теплофизических параметров. Поэтому в каждом конкретном случае проблема теплообмена должно быть специально проанализирована. В некоторых волновых учет теплообмена может быть осуществлен привлечением уравнений теплопроводности.