Свойства производной аналитической функции и интеграл Коши. Простейшие конформные отображения. Ряды Тейлора и Лорана.

Для любого замкнутого контура  в ограниченной области  для аналитической функции  справедливо равенство

.

Интегральная формула Коши

Пусть функция аналитическая как на самом замкнутом контуре , так и внутри области , ограниченной этим контуром. Тогда для любой точки  справедливо представление

.

Произвольная аналитическая функция  отображает плоскость  в плоскость .

Геометрический смысл производной данной функции: Если производная аналитической функции  отлична от нуля в точке , то аргумент производной равен углу поворота прямой в области , при отображении этой прямой на плоскость , т.е. углы при отображении в локальной точке не меняются. Модуль производной является коэффициентом подобия.

Ряды Тейлора и Лорана.

Для функции , аналитической в круге с центром в точке , справедливо разложение в ряд Тейлора

 

.

Для функции , аналитической внутри кольца , справедливо разложение в ряд Лорана

Пример:  в окрестности точки  при малых и больших значениях модуля .

Представим функцию в следующей форме . Функция  является аналитической внутри круга , поэтому раскладывается в ряд Тейлора

. Функция  в любом кольце с центром в точке  уже разложена в ряд Лорана. Поэтому функция  имеет особыми точками полюс первого порядка в точке   и полюс  порядка, если . Для значений  единственной особой точкой остаётся точка .

 

 

Если , то в любом кольце с внутренним радиусом, который больше 1, точки  и  являются полюсами первого порядка. Тогда функция  уже разложена в ряд Лорана. Представим функцию , где ряд, находящийся в скобках сходится.

Формула Коши

Формула для вычета функции в полюсе порядка m

 

Вычисление интегралов

Пример 1. Вычислить интеграл

Пример 2. Вычислить интеграл Эйлера .

Пример 3. Вычислить интеграл .

Положим

5. Классификация и примеры линейных уравнений с частными производными 2-го порядка. Основные виды начальных и краевых условий. Характеристики линейных уравнений с двумя независимыми переменными.

,     

 

Формула Эйлера для поля скоростей в твердом теле; теоремы сложения скоростей и ускорений для точки; ускорение Кориолиса.

Пример 1: Река течет в южном полушарии в направлении с Севера на Юг. Какой берег реки будет более обрывистым?

Пример 2: Горизонтально расположенный круглый диск вращается вокруг оси с постоянной угловой скоростью . Муха массой  ползёт с постоянной скоростью из центра диска вдоль его радиуса. Чему равна сила Кориолиса, действующая на муху со стороны диска.

 

Инерциальные системы отсчета, принцип Галилея. Силы инерции.

 

Свободные и вынужденные колебания линейного осциллятора с трением. Математический маятник и его фазовый портрет.

 

Получение орбит в задаче о движении материальной точки в гравитационном поле притягивающего центра.

Внутренние и внешние силы для системы материальных точек. Заданные силы и реакции связей. Теоремы об изменении и законы сохранения импульса, кинетического момента и кинетической энергии системы. Модели сил трения.