Слабые и сильные разрывы. Условия на поверхности разрыва. Ударные волны. Число Маха.

Разрывы называются слабыми, если сами искомые функции непрерывны, а терпит разрыв хотя бы одна производная любого порядка.

Рассмотрим систему уравнений первого порядка, где независимыми переменными являются координата  и время :

Найдем кривые  возможного слабого разрыва для данной системы уравнений в плоскости независимых переменных .

Введём обозначение для скачка функции как разность значений функции с разных сторон линии разрыва. Тогда, учитывая то, что мы рассматриваем линии слабого разрыва, применим операцию скачка к нашей системе уравнений первого порядка. Поскольку коэффициенты матриц и вектора правой части не терпят разрыва (зависят, только от непрерывных величин), получим

.                                                    (1)

С другой стороны дифференциал непрерывной функции, взятый вдоль линии разрыва, имеет одинаковые значения по разные стороны этой линии, т.к.

Таким образом, мы имеем ещё одну систему уравнений

Поделив последнюю систему на , мы получим соотношения Коши – Адамара

.                                                        (2)

Исключив из уравнений (1), (2) производные по времени, получим для производных по координате  однородную систему уравнений

.                                                   (3)

Для невырожденной матрицы  систему (3) можно переписать в форме

 

.

Поскольку хотя бы одна из производных должна терпеть разрыв, система должна иметь нетривиальное решение. Отсюда её определитель должен быть равным нулю. Набор действительных корней полученного уравнения определяет линии возможного слабого разрыва

.

Можно легко показать, что линии слабого разрыва совпадают с характеристиками системы уравнений. Действительно, если направления, вдоль которых система уравнений запишется в полных дифференциалах, получим

Применим полученные соотношения для одномерного адиабатического течения газа

 

 

В неподвижном газе скорость распространения волн слабого разрыва (звуковых волн) равна .

Отношение скорости газа к скорости звука называется числом Маха .

Волны сильного разрыва. Ударные волны.

Если на поверхности терпят разрыв сами искомые функции, такие разрывы называются сильными. В газе их принято называть ударными волнами.

Получим условия на ударной волне в газе. Для этого запишем законы сохранения массы, импульса и энергии для объёма газа, содержащего внутри поверхность сильного разрыва.

Будем рассматривать движение в системе координат, связанной с поверхностью разрыва. Закон сохранения массы:

Аналогично, получим из закона сохранения импульса и энергии

Собирая результаты, получим:

 

 

Модели неупругого поведения тел: идеальная пластичность, упрочнение, линейная вязкоупругость.

Пластичность – необратимое поведение материала с возникновением остаточных

деформаций при разгрузке.