Моделирование технологических процессов

Математической моделью объекта управления называется ко­нечное подмножество переменных x (t), z (t) вместе с математи­ческими связями между ними и характеристиками выходных пе­ременных y (t) объекта.

Математические модели технологических объектов могут быть детерминированными и стохастическими. Если математическая модель не содержит элементов случайности или они не учиты­ваются, то модель называется детерминированной. В детерми­нированных моделях процесс или действие объекта описывается аналитическими выражениями, чаще всего системами диффе­ренциальных или алгебраических уравнений.

В стохастических моделях процесс или действие объекта опи­сывается стохастическими уравнениями, и физический смысл имеют не отдельные реализации процесса, а совокупность реа­лизаций и их параметры (математическое ожидание, дисперсия, корреляционная зависимость и т. д.).

При моделировании ТП, как это отмечалось ранее, исследу­ют три группы факторов:

1) факторы, не допускающие их целенаправленного измене­ния в ходе построения модели и управления (твердость, состав, структура материала и т. п.);

2) управляемые факторы, с помощью которых реализуются заданные условия работы объекта (режимы обработки, характе­ристики оборудования и оснастки и т. п.);

3) неконтролируемые входные или независимые факторы, ха­рактеризующие действующие на объект возмущения (неконтро­лируемые изменения химического состава, температуры, изме­нение свойств оборудования и оснастки во времени и т. п.).

В моделях обычно учитывают только факторы первых двух групп. Действие неконтролируемых факторов приводит к дрей­фу характеристик модели объекта (значений отклика).

Математическая модель объекта управления должна отвечать требованиям универсальности, точности, адекватности и эконо­мичности.

Универсальность математической модели характеризует пол­ноту отражения в ней свойств реального объекта. Математичес­кая модель отражает лишь некоторые свойства объекта.

Точность модели определяется степенью совпадения значений параметров реального объекта и значений тех же параметров, рас­считываемых с помощью оцениваемой математической модели.

Адекватность модели — способность отображать заданные свойства объекта с погрешностью не выше заданной. Адекват­ность модели имеет место, как правило, лишь в ограниченной области изменения входных переменных.

Экономичность модели характеризуется затратами вычисли­тельных ресурсов на ее реализацию.

Математические модели ТП, разрабатываемые для управле­ния последними, должны отвечать следующим требованиям:

1) обеспечивать получение необходимого набора оценок с тре­буемой точностью и достоверностью;

2) позволять воспроизведение различных ситуаций при варь­ировании структурой и параметрами модели;

3) иметь блочную структуру, допускающую возможность за­мены, исключения частей модели при сохранении общей струк­туры модели;

4) иметь по возможности минимальную длительность разра­ботки и реализации модели.

При описании и решении задач управления ТП используют модели различных классов.

Линейные модели являются наиболее распространенными. Для многих составляющих вектора у выходных переменных, осо­бенно характеризующих параметры качества обработки (погреш­ности размеров, формы и взаимного расположения поверхнос­тей, волнистость, микротвердость и т. д.), связь с входными пе­ременными х, представляющими аналогичные параметры заготовки, и вектором условий г, характеризующим, например, параметры режима обработки, жесткость, процессы развития во времени элементарных погрешностей обработки и т.д., может быть представлена либо линейными, либо допускающими лине­аризацию зависимостями:

=1,…, m,

где ^— постоянные составляющие входных переменных, вклю­чающие систематические погрешности преобразующей системы, которые могут быть исключены настройкой процесса; ,   — коэффициенты влияния входных переменных и условий проте­кания процесса на -ю составляющую вектора выходных пере­менных соответственно.

При управлении часто используют модели состояния

где U — вектор состояния объекта; — параметр времени; — вектор входных переменных; — вектор параметров объекта- модели; — вектор выходных переменных.

Если функции и линейны, модель состояния также опи­сывается линейной зависимостью. Наиболее часто линейная мо­дель в пространстве состояний имеет вид

где А, В, С, D — матрицы параметров модели.

В представлении объекта управления стохастической моде­лью вместо описания связи между входными и выходными пе­ременными используют уравнения связи между осредненными значениями этих переменных. В результате разработки стохас­тической модели должны быть определены математическое ожи­дание М выходной переменной относительно входной, а также дисперсия выходной переменной  определяющая точ-ность моделирования.

Для дискретного случая,  когда  входная  случайная  функция  

x (S) может быть представлена значениями …  связанными со значениями выходной переменной матема­тическое ожидание выходной переменной относительно ,..., , будет функцией всех :

Такое представление равноценно модели с одним выходом у и т взаимосвязанными входами , которые представляют собой случайные величины.

В технологии машиностроения оценку модели (процесса) осу­ществляют сравнением среднего квадратического отклонения выходной переменной  с полем допуска этой перемен­ной, причем

Чем больше значение , тем больше поле рассеивания и ниже качество, обеспечиваемое ТП, и наоборот. Путем сравне­ния полученных экспериментально статистических характеристик ТП с допустимыми можно оценить процесс и сделать соответ­ствующие выводы о возможном качестве готовой продукции.

Для получения математических моделей статистических объек­тов, весьма характерных для технологии машиностроения, зачас­тую эффективно применение корреляционно-регрессионного ана­лиза, суть которого изложена в гл. 4 т. 1 настоящего учебника.