Методический подход к оптимизации управления КА

Суть методического подхода заключается в поэтапном преобразовании исходных математических моделей движения КА. На первом этапе используется формализм принципа максимума Понтрягина [54]. Составляются гамильтониан и дифференциальные уравнения сопряженных переменных. Далее, путем использования оригинальных преобразований, основывающихся на введении допущений, заменах переменных, алгоритмах понижения порядка систем уравнений, разрабатываются упрощенные модели движения КА и сопряженных переменных. На их основе составляются аналитические зависимости для определения законов оптимального управления и новых соотношений связи. В результате формируются общие условия оптимальности, справедливые для практически любых вариационных задач, относящихся к классу Майера. При этом окончательные решения задач оптимального управления определяются с учетом конкретных исходных данных, граничных условий, ограничений и критериев оптимальности.

Итак, основываясь на формализме принципа максимума Понтрягина [54] запишем гамильтониан:

где

- функция, не зависящая в явном виде от управляющих параметров  и .

Сопряженные переменные при движении КА внутри области допустимых значений имеют вид:

При полете КА по границам допустимой области фазового пространства сопряженные переменные  (  1, 2, …, 6) имеют следующий общий вид [5, 43, 58, 77]:

где

В момент выхода КА на ограничения  должно быть выполнено условие касания границ области допустимых значений фазового пространства:

Сопряженные переменные  в момент  скачком меняют свои значения:

где  и  – постоянные.

Значения , ν, ,  формируются в зависимости от конкретных условий исследуемых вариационных задач.

Из условия максимума гамильтониана получим формулы для определения законов оптимального управления углами крена и атаки:

С учетом условия трансверсальности определим значения сопряженных переменных и гамильтониана в конечной точке траектории [43, 58]

Учитывая, что в правых частях дифференциальных уравнений (2.1) не содержится в явном виде переменная , получим соотношение:

Сопоставляя это соотношение с условием равенства нулю сопряженной переменной , приходим к выводу о том, что  на всем участке полета КА, включая граничные точки траектории:

Далее, из условия  составим дополнительное уравнение, связывающее неизвестные параметры в конечной точке траектории:

В результате задача определения оптимального управления, обеспечивающего минимум конечной скорости КА, сводится к решению пятипараметрической краевой задачи для дифференциальных уравнений (2.1), (2.7), краевых условий (2.4), (2.5), (2.10), (2.11) и ограничений (2.6).

Как было отмечено выше, решение такого типа задач классическими методами сопряжено со значительными трудностями, в первую очередь, в связи со сложностями определения первого приближения значений сопряженных переменных в граничных точках траектории. Для упрощения поиска структуры оптимального управления КА и расчета траекторий движения аппарата разработан аналитический метод, базирующийся на введении ряда оригинальных преобразований.

При его разработке использовались общеизвестные допущения, обоснованные в ряде работ [26, 58, 79, 81, 84, 85]

где , , ,  - кориолисова, центробежная, гравитационная и аэродинамическая силы соответственно,  – плотность атмосферы на поверхности планеты,  – логарифмический коэффициент изменения плотности атмосферы от высоты.

В результате система (2.1) перепишется в виде:

Следуя [26, 58, 63], будем считать  и – кусочно-постоянными функциями.

Введем замены переменных

Это позволит упростить анализ уравнений движения КА и сопряженных переменных и определить структуру оптимального управления.

В результате получим систему, не содержащую в явном виде аргумент :

Отметим, что при движении КА в атмосфере аргумент  возрастает.

Для определения оптимальных законов управления параметрами  и  также воспользуемся принципом максимума Понтрягина [54]. При гамильтониан и система уравнений сопряженных переменных при движении КА внутри допустимой области фазовых координат запишутся следующим образом:

Сопряженные переменные при анализе оптимальных траекторий, проходящих по границам области фазовых координат  (  1, 2, …, 5), а также законы управления при полете КА по изоучасткам определяются в зависимости от вида заданных ограничений и будут рассмотрены при исследовании конкретных вариационных задач.

При использовании в качестве аргумента параметра , согласно [43], в систему (2.13) вводится дополнительное дифференциальное уравнение . В связи с тем, что правые части этой системы не содержат в явном виде аргумент , соответствующее уравнение для сопряженной переменной  определяется формулой .

Согласно сделанному предположению, в уравнения (2.13)-(2.15) входят кусочно-постоянные разрывные функции , . Однако в силу теоремы Вейерштрасса-Эрдмана [43] наличие разрывов в правых частях уравнений не нарушает непрерывности гамильтониана и сопряженных переменных:

где  – значение аргумента, соответствующее j -му моменту разрыва функций  или , – величина меньшего порядка, чем .

Законы изменения  и при оптимальном управлении определяются в результате решения уравнений  и их можно записать в виде

Граничные условия для сопряженных переменных  при  и  получим из условия трансверсальности [43]

Таким образом, для определения оптимальных законов изменения управляющих параметров  и  необходимо решить уравнения (2.16) с учетом дифференциальных связей (2.13)-(2.15) и краевых условий (2.17).

В рамках предложенного метода применительно к исследуемым задачам оптимального управления КА в атмосфере можно записать общие формулы для определения сопряженных переменных  и :

В связи с тем, что гамильтониан  в явном виде не зависит от аргумента , справедливо соотношение

что позволяет записать дополнительное уравнение связи между неизвестными параметрами движения КА и сопряженными переменными:

Разработанные соотношения (2.16), (2.18), (2.19) являются универсальными и представляют собой теоретическую основу для исследования практически любых задач оптимального управления, относящихся к классу Майера. Вместе с тем, этих соотношений недостаточно для окончательного расчета оптимальных траекторий. Для этого необходимо получение всех (в том числе и не определяемых по разработанным универсальным соотношениям) граничных значений фазовых координат и сопряженных переменных. Эти неизвестные параметры, в том числе переменные  и , в явном виде влияющие на законы оптимального управления КА (2.16), определяются в зависимости от условий конкретных вариационных задач. Окончательные решенияконкретных вариационных задач будут представлены в последующих разделах.