Числовые ряды с положительными членами

Конспект лекций по

Числовым рядам

Числовые ряды

 

Определение: Рассмотрим бесконечную числовую последовательность:

 числовым рядом называется выражение , где  – общий член ряда.

Пример:

          -знакоположительный ряд             

       -знакочередующийся ряд             

Последовательность , где ; ;  - последовательность частичных сумм ряда.

Каждая частичная сумма содержит конечное число слагаемых.

Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный

 

, то ряд называется расходящимся и суммы S не имеют.

1)Рассмотрим ряд из членов геометрической прогрессии.

, где n – частичная сумма ряда - сумма n первых членов геометрической прогрессии.

Рассмотрим 3 случая:

1) геометрическая прогрессия убывающая.

сходится и имеет сумму

2)

3)

= не существует – ряд расходится.

Вывод: ряд из членов геометрической прогрессии сходится если и расходится

 

Элементарные свойства рядов

 

1) Если (1) сходится и имеет сумму S, то (2) тоже сходится, и имеет сумму CS, где С-const.

Доказательство: Пусть , n– ая частичная сумма 1 ряда.

, n–ая частичная сумма 2 ряда.

 Т.к 1 ряд сходится, то .

Рассмотрим (2) ряд сходится.

Конец доказательства.

2) Если (1) сходится с суммой S₁, и (2) сходится с суммой S₂.

тоже сходится с суммой .

Доказательство:

Обозначим  - n – частичная сумма 1 ряда.

                - n – частичная сумма 2 ряда.

Рассмотрим n-ую частичную сумму ряда

и сумма .

Конец доказательства.

3) Любой ряд может быть представлен в виде:

, где - n – частичная сумма

                           - n – остаток ряда.

n – остаток ряда тоже является рядом.

 Если , то и его остаток  тоже сходится.

Доказательство: доказательство этого факта следует из того, что сумма ряда и сумма его остатка отличаются друг от друга на конечное число cлагаемых.

Конец доказательства.

Следствие: на сходимость ряда не влияет отбрасывание или приписывание в начало ряда конечного числа членов, например: 1+3+9+27+…

Дописывание: 1/9+1/3+1+3+9+27+..      отбрасывание: 1+3+5+7+9+11

4) Если сходится с суммой S .

Общий вывод: на практике необязательно выяснять сходимость ряда по определению (вычисляя сумму S). Достаточно просто знать сходится этот ряд или расходится, поэтому, основное место в теории рядов занимают теоремы – признаки сходимости, которые позволяют исследовать ряд на сходимость, не вычисляя его суммы.

 

Признаки сходимости

 

 Необходимый признак сходимости:

Если сходится, то общий член

Доказательство: Пусть - n – частичная сумма.

- число.

При  , тоже и - n-1 – частичная сумма.

Она имеет предел .

 

Т.к

конец доказательства.

Необходимый признак сходимости неудобен на практике, т.к по поведению общего члена U_n на бесконечности нельзя судить о сходимости ряда.

На практике удобно пользоваться достаточным признаком расходимости ряда:

Если не стремится к 0 при

Примеры:

1)

2)

 

Радикальный признак Коши.

Дан ряд с положительными членами и

Если  - сходиться

Если  - расходиться

Если  - вопрос о сходимости не решен

 

Доказательство:

по определению , начиная с которого

 

1) Пусть С<1 выберем настолько малым, чтобы , тогда из правой части < , ряд , где q<1 сходится как ряд из членов геометрической прогрессии, со знаменателем <1, тогда исходный ряд сходится по I признаку сравнения, т.к его члены меньше членов сходящегося ряда.

2) Пусть С>1 выберем настолько малым, чтобы >1  из левой части > ; (q>1) расходится, как ряд из членов геометрической прогрессии, расходится по I признаку сравнения, т.к его члены больше членов сходящегося ряда.

3)С=1

Возьмем 2 обобщенно гармонических ряда   – расходится (p=1) и -сходится (p=2>1) и покажем, что С=1.

Таким образом при С=1 ряд может как сходится так и расходится.

 Конец доказательства.

Примеры:

1)

2)

3)

Интегральный признак Коши.

Дан ряд с положительными членами , что () и функция f(x) – положительная и убывающая, связанная с рядом равенством f(n)= . Тогда несобственный интеграл и сходится и расходится одновременно.

Доказательство:

f(n)=U_n

 

 

                                                          _n

 

S ступенчатой фигуры над рядом (f(x))

- n частичная сумма ряда.

S ступенчатой фигуры под графиком функции f(x)

- n+1 частичная сумма ряда.

очевидно неравенство

Пусть несобственный интеграл сходится

Из левой части <числа - ограничена сверху числом - сходится.

Пусть расходится из правой части (*)  неограничен ряд расходится.

Конец доказательства.

Докажем, с помощью интегрального признака Коши, что обобщенно-гармонический ряд:

свяжем с эти рядом несобственный интеграл

(доказано в несобственном интеграле) исходный несобственный интеграл сходится или расходится одновременно.

Примеры:

1)

2)

 

 

Конспект лекций по

Числовым рядам

Числовые ряды

 

Определение: Рассмотрим бесконечную числовую последовательность:

 числовым рядом называется выражение , где  – общий член ряда.

Пример:

          -знакоположительный ряд             

       -знакочередующийся ряд             

Последовательность , где ; ;  - последовательность частичных сумм ряда.

Каждая частичная сумма содержит конечное число слагаемых.

Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный

 

, то ряд называется расходящимся и суммы S не имеют.

1)Рассмотрим ряд из членов геометрической прогрессии.

, где n – частичная сумма ряда - сумма n первых членов геометрической прогрессии.

Рассмотрим 3 случая:

1) геометрическая прогрессия убывающая.

сходится и имеет сумму

2)

3)

= не существует – ряд расходится.

Вывод: ряд из членов геометрической прогрессии сходится если и расходится

 

Элементарные свойства рядов

 

1) Если (1) сходится и имеет сумму S, то (2) тоже сходится, и имеет сумму CS, где С-const.

Доказательство: Пусть , n– ая частичная сумма 1 ряда.

, n–ая частичная сумма 2 ряда.

 Т.к 1 ряд сходится, то .

Рассмотрим (2) ряд сходится.

Конец доказательства.

2) Если (1) сходится с суммой S₁, и (2) сходится с суммой S₂.

тоже сходится с суммой .

Доказательство:

Обозначим  - n – частичная сумма 1 ряда.

                - n – частичная сумма 2 ряда.

Рассмотрим n-ую частичную сумму ряда

и сумма .

Конец доказательства.

3) Любой ряд может быть представлен в виде:

, где - n – частичная сумма

                           - n – остаток ряда.

n – остаток ряда тоже является рядом.

 Если , то и его остаток  тоже сходится.

Доказательство: доказательство этого факта следует из того, что сумма ряда и сумма его остатка отличаются друг от друга на конечное число cлагаемых.

Конец доказательства.

Следствие: на сходимость ряда не влияет отбрасывание или приписывание в начало ряда конечного числа членов, например: 1+3+9+27+…

Дописывание: 1/9+1/3+1+3+9+27+..      отбрасывание: 1+3+5+7+9+11

4) Если сходится с суммой S .

Общий вывод: на практике необязательно выяснять сходимость ряда по определению (вычисляя сумму S). Достаточно просто знать сходится этот ряд или расходится, поэтому, основное место в теории рядов занимают теоремы – признаки сходимости, которые позволяют исследовать ряд на сходимость, не вычисляя его суммы.

 

Признаки сходимости

 

 Необходимый признак сходимости:

Если сходится, то общий член

Доказательство: Пусть - n – частичная сумма.

- число.

При  , тоже и - n-1 – частичная сумма.

Она имеет предел .

 

Т.к

конец доказательства.

Необходимый признак сходимости неудобен на практике, т.к по поведению общего члена U_n на бесконечности нельзя судить о сходимости ряда.

На практике удобно пользоваться достаточным признаком расходимости ряда:

Если не стремится к 0 при

Примеры:

1)

2)

 

Числовые ряды с положительными членами

 

Рассмотрим знакоположительный числовой ряд , где .Последовательность частичных сумм такого ряда будет всегда возрастающей:

На 1 курсе была доказана теорема о том, что: монотонно возрастающая последовательность, ограниченная сверху имеет конечный предел.

- число.

Для знакоположительного ряда достаточно доказать, что, последовательность частичных сумм ограничена сверху числом (возрастание и так есть).

1^й признак сравнения

Дано 2 ряда с положительными членами (1) и (2) и начиная с некоторого номера N выполняется неравенство , тогда если (2) сходится то и (1) сходится. Если (1) расходится то и (2) тоже расходится, (ряд меньший сходящегося тоже сходится, ряд больший расходящегося тоже расходится).

Доказательство: Обозначим через  - n – частичная сумма 1 ряда и  - n – частичная сумма 2 ряда.

Т.к . Пусть 2 ряд сходится, тогда , причём  ограничена сверху числом (1) сходится.

Пусть 1 ряд расходится , т.к расходится.

Конец доказательство.

Замечание: при доказательстве этого признака мы считали, что неравенство  выполняется с 1 номера. Этот факт не влияет на сходимость, т.к по свойству рядов отбрасывание n – первых членов ряда на сходимость ряда не влияет.

Для сравнения необходим стандартный набор рядов, о сходимости всё известно. К таким рядам относятся:

Ряды для сравнения:
Ряды членов геометрической прогрессии:	Обобщенно гармонический ряд: (строгое доказательство будет проведено после интегрального признака сходимости)

Примеры:

1)

2)

3)