II признак сравнения (предельный)

Дано 2 ряда с положительными членами (1) и (2) и - число (1) и (2) сходятся и расходятся одновременно.

Доказательство:

- число по определению предела последовательности:

с которого

 

Пусть (2) сходится, тогда сходится и

Из правой части  следует, что (1) ряд меньше сходящегося ряда по 1 признаку сравнения (1) сходится

Пусть (2) расходится выберем настолько малым, чтобы  оставалось >0, для знакоположительности ряда  - расходится. Из левой части (*)  (1) ряд>ряда расходящегося по I признаку сравнения (1) ряд расходится.

Конец доказательства.

Примеры:

1)

2)

3)

Признак сходимости Даламбера

Дан ряд с положительными членами и

Если  - сходиться

Если  - расходиться

Если  - вопрос о сходимости не решен.

 

Доказательство:

, начиная с которого

                                     

1) Пусть D<1 выберем настолько малым, чтобы

обозначим

рассмотрим правую часть

Рассмотрим ряд из членов геометрической прогрессии , т.к ряд q<1 этот ряд сходится.

Т.к исходный ряд меньше сходящегося ряда из членов меньшего ряда то исходный ряд сходится по I признаку сравнения.

2) Пусть D>1 выберем настолько малым, чтобы >1 <(D- )

из левой части >

следовательно члены ряда растут не стремится к 0 , ряд расходится по достаточному признаку расходимости.

3) D=1

Возьмем 2 обобщенно гармонических ряда   – расходится и - сходится.

Для     D=

Для    D=

При D=1 ряд может сходится или расходится и вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Конец доказательства.

Примеры:

1)

2)

3)

Радикальный признак Коши.

Дан ряд с положительными членами и

Если  - сходиться

Если  - расходиться

Если  - вопрос о сходимости не решен

 

Доказательство:

по определению , начиная с которого

 

1) Пусть С<1 выберем настолько малым, чтобы , тогда из правой части < , ряд , где q<1 сходится как ряд из членов геометрической прогрессии, со знаменателем <1, тогда исходный ряд сходится по I признаку сравнения, т.к его члены меньше членов сходящегося ряда.

2) Пусть С>1 выберем настолько малым, чтобы >1  из левой части > ; (q>1) расходится, как ряд из членов геометрической прогрессии, расходится по I признаку сравнения, т.к его члены больше членов сходящегося ряда.

3)С=1

Возьмем 2 обобщенно гармонических ряда   – расходится (p=1) и -сходится (p=2>1) и покажем, что С=1.

Таким образом при С=1 ряд может как сходится так и расходится.

 Конец доказательства.

Примеры:

1)

2)

3)

Интегральный признак Коши.

Дан ряд с положительными членами , что () и функция f(x) – положительная и убывающая, связанная с рядом равенством f(n)= . Тогда несобственный интеграл и сходится и расходится одновременно.

Доказательство:

f(n)=U_n

 

 

                                                          _n

 

S ступенчатой фигуры над рядом (f(x))

- n частичная сумма ряда.

S ступенчатой фигуры под графиком функции f(x)

- n+1 частичная сумма ряда.

очевидно неравенство

Пусть несобственный интеграл сходится

Из левой части <числа - ограничена сверху числом - сходится.

Пусть расходится из правой части (*)  неограничен ряд расходится.

Конец доказательства.

Докажем, с помощью интегрального признака Коши, что обобщенно-гармонический ряд:

свяжем с эти рядом несобственный интеграл

(доказано в несобственном интеграле) исходный несобственный интеграл сходится или расходится одновременно.

Примеры:

1)

2)