Математическое описание логических устройств

Решение логических задач осуществляется с помощью логических элементов, базирующихся на математическом аппарате алгебры логики (булевой алгебры, разработанной английским математиком Джорджем Булем (1815-1864)), в которой все переменные величины (аргументы Х_i и функции Z_i) могут принимать только два логических значения: " 1 " (логическая единица) и " 0 " (логический ноль). Понятия "1" и "0" являются условными, символизирующими состояния: событие истинно, событие ложно, например, для релейного устройства: "включено", "выключено".

Во многих случаях эти два символа “1” и “0” простейшего алфавита, отождествляют с арабскими цифрами 1 и 0, не вкладывая в них смысла количества. При изложении дальнейшего материала будем использовать символы 1 и 0 (без кавычек).

Этим понятиям можно поставить в соответствие два разрядных коэффициента двоичной системы счисления. Поэтому цифровые устройства часто называют логическими, а сами весовые коэффициенты – логическим нулем (0) и логической единицей (1).

В цифровых электронных устройствах применяют сигналы двух уровней напряжения: положительную потенциальную логику, в которой символ 1 кодируется высоким потенциалом, а 0 – низким, и отрицательную, в которой символ 1 кодируется отрицательным потенциалом, а 0 – близким к нулевому.

При описании и анализе ЦУ будем использовать способ кодирования, называемый «соглашение положительной логики».

В общем случае логическое устройство может иметь п входов и m выходов. Рассматривая входные сигналы Х_{п -1} Х_{n -2} … Х ₁ Х ₀ в качестве переменных (аргументов), мож­но соответствующие выходные сигналы представлять посредством операций алгебры логики в виде функции

Z_i (X) = f (Х_{п -1} Х_{n -2}… Х ₁ Х ₀).

Основные логические операции

В алгебре логики предполагается выполнение действий над логическими переменными посредством трех основных операций: логического сложения, логического умножения и отрицания.

Логическое сложение. Эту операцию часто называют операция ИЛИ (дизъюнкция). Ее выполнение означает, что для получения результата достаточно выполнение одного из возможных событий. Для двух переменных Х ₁ и Х ₀ ее можно записать как Х ₁ + Х ₀ или Х ₁ v Х ₀. Алгоритм выполнения операции приведен в табл. 7.2. Заметим, что данная операция справедлива для произвольного числа членов.

Логическое умножение. Эту операцию часто называют операция И (конъюнкция). Ее выполнение означает, что для получения результата необходимо выполнение всех возможных событий. Для двух переменных Х ₁ и Х ₀ ее можно записать как Х ₁ × Х ₀ или Х ₁^ Х ₀, или просто Х ₁ Х ₀. Алгоритм выполнения операции приведен в табл. 7.3. Данная операция так же справедлива для произвольного числа членов.

Отрицание. Эту операцию часто называют операция инверсия (дополнение). Для ее записи используют черту над соответствующим выражением, и она всегда выполняется над одним членом или выражением согласно условиям:

Функции алгебры логики

Рассмотрим логическое устройство, на вход которого подан некоторый n -разрядный двоичный код Х_{п -1} Х_{n -2}… Х ₁ Х ₀, а на выходе сформирован некий m -разрядный двоичный код Z_{m -1} Z_{m -2}… Z ₁ Z ₀.

Для того чтобы описать поведение этого устройства, необходимо определить зависимость каждой из m выходных переменных Z_i, от всех комбинаций входного двоичного кода Х_{п -1} Х_{n -2}… Х ₁ Х ₀.

Зависимость выходных переменных Z_i, выраженная через совокупность входных переменных Х_{п -1} Х_{n -2}… Х ₁ Х ₀ с помощью операций алгебры логики, носит название функции алгебры логики (ФАЛ). Иногда данную зависимость также называют переключательной функцией.

Задать ФАЛ – значит определить значения Z_i для всех возможных комбинаций переменных Х_{п -1} Х_{n -2}… Х ₁ Х ₀. Очевидно, что для n -разрядного двоичного кода существует 2 ^п различных значений Z_i.

Логическую функцию называют полностью определенной, если заданы 2 ^п ее значений. Если часть значений функции не задана, то она называется частично определенной или недоопределенной.

Иногда, по условию работы устройства, появление некоторых входных кодов невозможно, поэтому значения ФАЛ на этих кодах не задаются. При этом также воз­ни­кают так называемые факультативные или необязательные значения функции, которые могут задаваться произвольными.