Разложение вектора по базису

    Вектор вида , где  () – некоторые числа, называется линейной комбинацией данных векторов . – коэффициенты линейной комбинации. Если вектор представлен как линейная комбинация некоторых векторов, то говорят, что он разложен по этим векторам.

    Справедливы следующие теоремы

Т е о р е м а 1. Пусть даны два неколлинеарных вектора   и . Любой компланарный с ними вектор   раскладывается по ним и такое разложение единственно. Т. е., = + , где   и   единственные для этого вектора   вполне определенные числа.

Т е о р е м а 2. Пусть даны три некомпланарных вектора ,  и . Любой вектор   раскладывается по ним и такое разложение единственно. Т. е., = + + .

    Базисом в пространстве называются три некомпланарных вектора, взятых в определенном порядке. Базис позволяет однозначно сопоставить вектору упорядоченную тройку чисел , , - коэффициентов разложения этого вектора по векторам базиса. С другой стороны, каждой упорядоченной тройке чисел при помощи базиса сопоставляется единственный вектор. Если , ,  - базис и = + + , то числа , ,   называются координатами вектора     в данном базисе, при этом пишут .   Аналогично дается определение базиса на плоскости, когда вектор имеет две координаты .

Действия над векторами, заданными своими координатами:

1.При умножении вектора на число все его координаты умножаются

 на это число. Т.е., ( + + )= + + и { , , }.

    2. При сложении векторов складываются их соответствующие координаты. Т. е., если в выбранном базисе , , то .

Аффинные координаты

    Аффинные координаты в пространстве определяются (рис. 4) заданием базиса , ,   и точки О – начала координат (affinis – смежный, соседний).

                                           Рис. 4

Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат: первая – ось абсцисс; вторая – ось ординат; третья – ось аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат – координатные плоскости.

    Пусть в пространстве задана точка М. - радиус-вектор точки М. Тогда разложение по векторам базиса = + + . Аффинными координатами точки М называются координаты - радиус-вектора

 в рассматриваемой системе координат, пишут , где  - абсцисса,  - ордината,  - аппликата точки М.  В заданной аффинной системе координат координаты фиксированной точки определяются однозначно. С другой стороны, если задана система координат, то в ней каждой упорядоченной тройке чисел ставится в соответствие единственная точка. Аффинная система координат на плоскости  определяет такое же соответствие между точками и упорядоченными парами чисел.

    З а д а ч а. Пусть в заданной аффинной системе   и . Требуется найти координаты вектора .

                                                           Рис. 5

Р е ш е н и е. Из чертежа (рис. 5) видно , тогда

+ + + + =

                                     = .

Таким образом, , то есть, координаты вектора равны разности соответствующих координат конца и начала вектора.

Проекция вектора на ось

    Ориентированной осью называется прямая, на которой закреплена точка - начало отсчета, выбрана единица длины и направление отсчета.

                                                Рис. 6

Проекцией вектора   на ось   называется величина, численно равная длине отрезка   между основаниями перпендикуляров, опущенных из точек А  и В на l. Эта длина берется со знаком плюс, если направление от   к   совпадает с направлением оси l и минус в противном случае (рис. 6). Аналогично определяется проекция одного вектора на другой.

    Углом между осью и вектором называется угол,    на который нужно повернуть ось до совмещения с вектором кратчайшим образом (так чтобы их стрелки совпали). Из такого определения следует, что .

Свойства проекции вектора на ось.

    1.Проекция равна нулю тогда и только тогда, когда вектор перпендикулярен оси (говорят, вектор ортогонален оси).

    2. При параллельном переносе вектора его проекция не меняется.

    3. Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на

косинус угла между вектором и осью.

.

 

    

                      Рис. 7                                                      Рис. 8

В этой формуле знак проекции регулируется знаком косинуса:

- если   острый угол (рис. 7), то   и ;

- если   тупой угол (рис. 8), то   и .

4. Скалярный множитель можно выносить за знак проекции

.

    5. Проекция суммы векторов равна сумме проекций слагаемых

.