Декартова прямоугольная система координат

    Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и по длине равны единицам.

    Система координат, базис которой ортонормирован, называется декартовой прямоугольной системой координат.

                                                       

                                                  Рис. 9

Базисные векторы такой системы называются ортами и обозначаются соответственно , ,  (рис. 9). Оси идущие в направлении базисных векторов соответственно OX – ось абсцисс, OY – ось ординат, OZ – ось аппликат. Система координат называется правой, если кратчайший поворот первого базисного вектора  до совмещения со вторым базисным вектором  смотрится с конца третьего базисного вектора   происходящим против хода часовой стрелки. В противном случае имеем левую систему координат. Нетрудно видеть (рис. 10), что координатами вектора , равно как и точки М, являются проекции  на координатные оси.

 

Рис. 10

Тогда , аналогично , . Теперь радиус-вектор  или , где – координаты радиус-вектора , а , ,  - составляющие или компоненты этого вектора. . 

Поскольку, например, , а . Теперь . , где  - угол между вектором  и осью OX. Теперь , аналогично , , где  и  - углы между   и осями OY и OZ соответственно. Приведенные косинусы называются направляющими косинусами радиуса вектора .

    Если - произвольный вектор и X, Y, Z – его проекции на оси, то перенося начало  в точку О, будем иметь , , , , .

    Если вектор задан координатами начала  и конца , то  и расстояние   между точками А и В будет .

 

Скалярное произведение двух векторов

    Углом   между двумя векторами называется угол, на который нужно повернуть один вектор до совмещения с другим кратчайшим образом. Из такого определения угла следует, что .

    Скалярным произведением двух векторов  и  называется число равное произведению длин векторов на косинус угла   между ними:

.

В последней формуле точка – знак скалярного умножения векторов.

,

таким образом, скалярное произведение равно произведению длины одного из векторов на проекцию второго вектора на первый.

 

Свойства скалярного произведения:

    1. Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители ортогональны: .

    2. Скалярный квадрат вектора равен квадрату скаляра (квадрату длины вектора): .

    3. Переместительное свойство: .

    4. Распределительное свойство: .

    5. Сочетательное свойство: .

Рассмотренные свойства дают возможность обращаться со скалярным произведением, как с произведением чисел: 

.

    6. Скалярное произведение разноименных ортов равно нулю:

.

         Скалярное произведение одноименных ортов равно единице:

.

    7. Если векторы заданы координатами , , то скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат: .

Простейшие задачи

    1. Косинус угла между векторами определится по формуле:

.

    2. Проекция вектора на вектор:

.

    3. Условие ортогональности векторов:

.