Вычисление рекурсивного фильтра режекторного типа

        Цель работы: ознакомиться с алгоритмами расчета фильтров во временной области, которые позволяют сократить выполнение математических операций в несколько раз.

       5.1 Вопросы теории и методики

                

        Рекурсивная фильтрация относится к классу одноканальных фильтров. Слово «рекурсия» означает, что при расчете последующих отсчетов применялись предшествующие значения. Рекурсивный фильтр состоит из двух каузальных фильтров, один из которых подключен к электрической цепи обратно. Тогда можно рассматривать рекурсивную фильтрацию как многоканальную. Получается, что входной сигнал проходит через первый фильтр, сигнал на выходе первого фильтра  задерживается на один шаг дискретизации блоком задержки и сворачивается со вторым фильтром . Общий выходной сигнал, прошедший через два фильтра, определится разностью 2-х выходных сигналов

.                               (5.1)

        Запишем данное выражение в частотном виде

.                            (5.2)

        В соответствии с теоремой о свертке, спектр выходного сигнала равен произведению спектров фильтра и входного сигнала, т.е.

.                                     (5.3)

отсюда искомый рекурсивный фильтр определится как

.                                         (5.4)

        Воспользуемся формулами (1.2) и (1.4)

.                            (5.5)

        Можно записать полученную формулу в виде  преобразования. Пусть , , , где , тогда

.               (5.6)

        Если разделить числитель на знаменатель в формуле (5.6), то получим  преобразование. Таким образом, можно сделать вывод, что спектр рекурсивного фильтра есть  преобразование

,                                          (5.7)

где временная характеристика рекурсивного фильтра. Ее расчет сводится к расчету 2-х каузальных фильтров,  и . Рассмотрим рекурсивный фильтр режекторного типа, целью которого является подавление какой-либо частоты . Такой фильтр рассчитывается по следующей формуле

.                             (5.8)

Как видим, рекурсивный фильтр режекторного типа состоит всего из 5 элементов, что позволяет сократить количество математических операций в несколько раз, что сокращает в свою очередь стоимость обработки. Для расчета фильтра  используют так называемый метод «нулей» и «полюсов». «Нули» - это корни полинома, находящегося в числителе уравнения (5.8), «полюса» - корни полинома, стоящего в знаменателе. По формуле Эйлера известно, что

.                     (5.9)

т.е. - действительная часть z

     - мнимая часть z, значит, эту величину можно рассматривать на комплексной плоскости в виде окружности радиусом 1 (так как )).

            Для того, чтобы такой фильтр подавлял частоту , необходимо, чтобы «нули» располагались на комплексной окружности радиусом 1, т.е. должны быть равны 1, а «полюса» должны располагаться вне этой окружности, т.е. должны быть больше 1 (рисунок 5.1).

Рисунок 5.1 – «Нули» и «полюса» на комплексной плоскости

            Амплитудно-частотная характеристика рекурсивного фильтра режекторного типа определяется следующей формулой:

 

,                                      (5.10)

где  координата точки - «ноль»

- комплексно-сопряженная координата точки

- координата точки  - «полюс»

- комплексно-сопряженная координата точки (рисунок 5.1). Полюс выбирают для того, чтобы амплитудно-частотная характеристика была остронаправленной, т.е. подавляла только нужную нам частоту, хорошо пропуская соседние частоты. Удобнее всего расположить полюса на продолжении лучей, соединяющих начало координат с нулями фильтра, например, на расстоянии 1,02.

Для того, чтобы определить координату точки , которая покажет амплитудно-частотную характеристику режекторного фильтра, подавляющего некоторую частоту , достаточно определить угол , который вычисляется по следующей формуле

,                                     (5.11)

где - частота, которую нужно подавить,

- шаг дискретизации.

    В соответствии с формулой (5.8) выходной сигнал, полученный на выходе рекурсивного фильтра можно получить

или .           (5.12)

Записав это уравнение во временном представлении, получим

.                                 (5.13)

На основании этой формулы можно вывести общую формулу для расчета отсчетов выходного сигнала рекурсивного фильтра.

 

            5.2 Задание

 

            5.2.1 Выберите в соответствии с вариантом подавляемую частоту и шаг дискретизации

            5.2.2 Рассчитайте рекурсивный фильтр режекторного типа, состоящий из 5-ти элементов.

            5.2.3 Выведите формулу для вычисления выходных отсчетов рекурсивного фильтра.

            5.2.4 Постройте график входного сигнала.

            5.2.5 Вычислите в соответствии с вычисленным рекурсивным фильтром отсчеты выходного сигнала, воспользовавшись входным сигналом , который дан в таблице исходных данных.

            5.2.6 Постройте график выходной функции

 

Содержание отчета

5.3.1 Описание физического смысла рассмотренных преобразований.

5.3.2 Методика расчета

5.3.3 Вычисление фильтра и выходного сигнала.

5.3.4 Выводы, графики, приложения.

 

5.4 Контрольные вопросы

 

5.4.1 Что такое рекурсивная фильтрация, дать определение и рассказать об области использования этого фильтра.                                   

5.4.2 Рассказать о методике расчета фильтра и выводе общей формулы для вычисления выходного сигнала рекурсивного фильтра.

 

Таблица 5.1

Номер варианта	Подавляемая частота, Гц	Шаг дискретизации, мс	Последовательность входного сигнала
0	20	2
1	30	4
2	40	6
3	50	4
4	60	2
5	55	4
6	45	6
7	35	4
8	25	2
9	65	4

Лабораторная работа №6