Схема полного исследования функции

1. Найти область определения функции.

2. Определить точки пересечения ее графика с осями координат, точки разрыва функции.

3. Исследовать функцию на монотонность и экстремум.

4. Определить интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

5. Найти асимптоты графика функции.

ПРИМЕР 3. Провести полное исследование функции

1. Областью определения функции является множество

2. Точки пересечения графика данной функции с осями координат: (2;0), (0;4). Точкой разрыва является x=-1.

3. Исследуем функцию на монотонность и экстремум. Для этого найдем производную и приравняем её к нулю.

Приравняем производную к нулю

Решая квадратное уравнение , получим

В интервале  (производная больше нуля), следовательно, функция возрастает.

В интервале  функция убывает.

В интервале (-1;2)  функция убывает.

В интервале  функция возрастает.

Определим экстремум. Так как при переходе через точку x=-4 производная меняет свой знак с + на – в этой точке функция имеет локальный максимум: значение функции в этой точке y(-4)=-12. При переходе через точку x=-1 производная не меняет своего знака, следовательно, в этой точке нет экстремума. При переходе через точку x=2 производная меняет свой знак с – на +, следовательно, в точке x=2 функция имеет локальный минимум: значение функции в этой точке y(2)=0.

 

4. Исследуем график функции на выпуклость и вогнутость. Определим точки перегиба. Для этого найдем вторую производную и приравняем ее к нулю.

Приравняем вторую производную к нулю . Очевидно, что в интервале , значит кривая выпукла. В интервале  кривая вогнута. Так как при x=-1 функция не определена, то точка перегиба отсутствует.                                                                                                                               

5. Найдем асимптоты графика функции. Т.к. x=-1 является точкой разрыва, то она является  вертикальной асимптотой, причем:

 

Находим асимптоты:

,

Таким образом, существует единственная наклонная асимптота f(x)=x-5.

ПРИМЕР 4. Провести полное исследование функции

1. Область определения функции

2. Так как y=0 при x=0, то график функции проходит через начало координат.

3. Исследуем функцию на монотонность.

Если , то 1-x=0, откуда x=1. Эта точка разбивает числовую ось на два интервала:

В интервале ,  и функция в этом интервале возрастает;

В интервале ,  и функция убывает. Таким образом, в точке x=1 будем иметь локальный максимум (т.к. знак производной меняется с плюса на минус): значение функции в этой точке

4. Исследуем свойства функции, связанные со второй производной:    Приравняем вторую производную к нулю, получим x=2.

В интервале  т.е. кривая выпукла в этом интервале.

В интервале  т.е. кривая вогнута. Так как в точке x=2 вторая производная   меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке график функции имеет перегиб:

5. Найдем асимптоты. Вертикальных асимптот нет. Ищем наклонные асимптоты в виде y=kx+b.

 Таким образом, прямая y=0 – горизонтальная асимптота при  Значит, при  наклонных асимптот нет.

3.6. Задачи для самостоятельного решения

1. Найти экстремумы функций:

1.       (Отв. x=1 т.минимума)

2.       (Отв. x=2 т.max; x=4 т.min)

2. Исследовать методами дифференциального исчисления функции:

1.                             2.

3.                             4.

5.                             6.

7.                      8.