Нахождение экстремума функции

Функция z=f(x,y) имеет максимум в точке если значение функции в этой точке больше, чем ее значение в любой другой точке M (x,y) некоторой окрестности  т.е.

Функция z=f(x,y) имеет минимум в точке если

Максимум и минимум функции называется ее экстремумом. Точка в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума.

1. Необходимое условие экстремума.

Если дифференцируемая функция z=f(x,y) достигает экстремума в точке

то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю т.е. ,    

              

Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными точками. Не всякая стационарная точка является точкой экстремума.

2. Достаточное условие экстремума.

Пусть  - стационарная точка функции z = f (x, y). Обозначим  и составим дискриминант  Тогда, если то функция имеет в точке  экстремум:

при  (или 0) – максимум;

при  (или ) – минимум.

Если то в точке  экстремума нет.

Если   то требуется дальнейшее исследование.

Пример. Найти экстремум функции

Найдем частные производные функции: воспользовавшись необходимыми условиями экстремума находим стационарные точки, т.е. приравниванием производные к нулю:  M (0;3)

Найдем коэффициенты  

       =2>0

Следовательно, в точке M (0;3) функция имеет минимум

4.5. Задачи для самостоятельного решения

Найти частные производные первого и второго порядка функций:

1.               2.

3.                                              4.

5.                                              6.                          

 

 

ТЕМА 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Первообразная и неопределенный интеграл

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если  или dF(x)=f(x)dx.

Если функция f(x) имеет первообразную F(x), то она имеет бесконечное множество первообразных F(x)+C, где C – const, т.к. (F(x)+C)´= f(x)

Неопределенным интегралом от функции f(x) называется совокупность всех ее первообразных.

Обозначение:

- знак интеграла;

f(x) – подынтегральная функция;

F(x)dx – подынтегральное выражение;

x – переменная интегрирования.

Нахождение неопределенного интеграла называется интегрированием функции.

Свойства неопределенного интеграла

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

        

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е.

   

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

              где a – const.

5. Интеграл от алгебраической суммы 2-х функций равен такой же сумме  интегралов от этих функций

         

6. Если  и  то

                   Таблица первообразных

1.                                         2.

3.  где            4. , ( >0, ≠1)

5.                                    6.

7.                            8.

9.                           10.  

11.                 12.  

13.                             14.

15.                          16.

17.                          18.                    

Методы интегрирования

ПРИМЕР 1.

 используя свойство 3,формулу 3 и 1 из таблицы производных получим .

Метод замены переменной

ПРИМЕР 2. ∫

Положим =1-2х, тогда х = , = ( )=( )´ =-  и

∫ = ∫ =-  ∫  =-  +С=-  │1-2х │+С.