Интерполяционный многочлен Лагранжа

Интерполяционный многочлен Лагранжа в общем виде выглядит следующим образом:

 

,                         (3.2.1)

 

Пусть в соответствии с вариантом задания исходная функция задана в виде значений в диапазоне ячеек B 7: C 10, рис. 3.2.1.

Тогда выражение 3.2.1 примет вид

      (3.2.2)

 

В ячейках D 19: H 19 оформим шапку таблицы вычисления слагаемых формулы 3.2.2, как показано на рис. 3.2.1.

 

Рис. 3.2.1

Вычислим слагаемые формулы 3.2.2, для чего:

– в ячейку E 20 запишем арифметическое выражение, соответствующее первому слагаемому формулы 3.2.2 при этом значения аргументов x ₀, x ₁, x ₂, x ₃, y ₀ взяты из ячеек диапазона B 7: B 10 и ячейки C 7, в абсолютной адресации, а значение аргумента x взято из ячейки A 20 в относительной адресации

=$C$7*(A20-$B$8)*(A20-$B$9)*(A20-$B$10)/($B$7-$B$8)/($B$7-$B$9)/($B$7-$B$10);

– в ячейку F 20 запишем арифметическое выражение, соответствующее второму слагаемому формулы 3.2.2 при этом значения аргументов x ₀, x ₁, x ₂, x ₃, y ₁ взяты из ячеек диапазона B 7: B 10 и ячейки C 8, в абсолютной адресации, а значение аргумента x взято из ячейки A 20 в относительной адресации

=$C$8*(A20-$B$7)*(A20-$B$9)*(A20-$B$10)/($B$8-$B$7)/($B$8-$B$9)/($B$8-$B$10);

– в ячейку G 20 запишем арифметическое выражение, соответствующее третьему слагаемому формулы 3.2.2 при этом значения аргументов x ₀, x ₁, x ₂, x ₃, y ₂ взяты из ячеек диапазона B 7: B 10 и ячейки C 9, в абсолютной адресации, а значение аргумента x взято из ячейки A 20 в относительной адресации

=$C$9*(A20-$B$7)*(A20-$B$8)*(A20-$B$10)/($B$9-$B$7)/($B$9-$B$8)/($B$9-$B$10);

– в ячейку H 20 запишем арифметическое выражение, соответствующее четвёртому слагаемому формулы 3.2.2 при этом значения аргументов x ₀, x ₁, x ₂, x ₃, y ₃ взяты из ячеек диапазона B 7: B 10 и ячейки C 10, в абсолютной адресации, а значение аргумента x взято из ячейки A 20 в относительной адресации

=$C$10*(A20-$B$7)*(A20-$B$8)*(A20-$B$9)/($B$10-$B$7)/($B$10-$B$8)/($B$10-$B$9).

В ячейку D 20 запишем сумму четырёх слагаемых в соответствии с формулой 3.2.2, то есть

=E20+F20+G20+H20.

Полученное в ячейке D 20 значение -12.2857 и есть результат вычисления интерполяционного полинома Лагранжа L ₃ (x) для аргумента x = 0.

Выделим диапазон ячеек D 20: H 20 и скопируем законы преобразования информации в них до D 37: H 37 включительно.

Появившиеся в диапазоне ячеек D 20: D 37 значения, и есть значения интерполяционного полинома Лагранжа L ₃ (x), вычисленные на спектре значений аргумента x диапазона ячеек A 20: A 37, (x Î [0;8.5]), рис. 3.2.2.

Рис. 3.2.2

Полное совпадение значений диапазонов ячеек B 20: B 37 (канонический полином P ₃ (x)) и D 20: D 37 (интерполяционный полином Лагранжа L ₃ (x)), является доказательством правильности полученного решения варианта задания.

Выделим диапазон ячеек D 37: H 37 и скопируем законы преобразования информации в них в ячейки D 39: H 39.

Тогда в ячейке D 39 отобразится результат вычисления значения интерполяционного полинома Лагранжа L ₃ (x) = 10.35, при x = 2.372, рис. 3.2.2.

Совпадение значений ячеек B 39 и D 39 подтверждает правильность вычислений.

Для вычисления значений интерполяционного полинома Лагранжа L ₃ (x) в среде VBA необходимо предварительно создать модуль VBA

 

Function lagr(x As Double, xe As Variant, ye As Variant)

n = Application.Count(xe)

lagr = 0

For i = 1 To n

p = 1

For j = 1 To n

If j <> i Then p = p * (x - xe(j)) / (xe(i) - xe(j))

Next j

lagr = lagr + ye(i) * p

Next i

End Function

Затем, установив курсор в ячейке I 20, с помощью мастера функций f_x вызвать модуль lagr и в появившемся окне Аргументы функции установить значения как показано на рис. 3.2.3.

Рис. 3.2.3

Причём, значения исходной таблицы $B$7:$B$10 и $C$7:$C$10 необходимо брать в абсолютной адресации.

После нажатия кнопки ОК - скопировать закон преобразования информации ячейки I 20 до ячейки I 37 включительно и в ячейку I 39.

Появившиеся в диапазоне ячеек I 20: I 37 значения, и есть значения интерполяционного полинома Лагранжа L ₃ (x), вычисленные в среде VBA на спектре значений аргумента x диапазона ячеек A 20: A 37, (x Î [0;8.5]), рис. 3.2.4.

Рис. 3.2.4

Полное совпадение значений диапазонов ячеек B 20: B 37 (канонический полином P ₃ (x)), D 20: D 37 (интерполяционный полином Лагранжа L ₃ (x) в среде Excel) и I 20: I 37 (интерполяционный полином Лагранжа L ₃ (x) в среде VBA), является доказательством правильности полученного решения варианта задания.

Совпадение значений ячеек B 39, D 39 и I 39 подтверждает правильность вычислений значений полиномов P ₃ (x), L ₃ (x) = 10.35, при x = 2.372, рис. 3.2.4.