Электрическое поле заряженной пластины

Пример 2.9.

Область пространства, ограниченная двумя параллельными друг другу бесконечными плоскостями, расположенными на расстоянии 2 а друг от друга, заряжена однородно по объему с плотностью r. Используя формулировку электростатической теоремы Гаусса, покажите, что

Ось Х перпендикулярна упомянутым бесконечным плоскостям, а точка х = 0 выбрана в центре слоя. Зависимость E_x (x) представьте графически.

Решение.

В силу симметрии распределения заряда, линии напряженности перпендикулярны рассматриваемому слою и направлены от центральной плоскости слоя в обе стороны. Поэтому в качестве замкнутой гауссовой поверхности построим цилиндр, основания которого параллельны и симметричны плоскости, соответствующей положению x =0 заряженного слоя, а ось перпендикулярна ему. Согласно теореме Гаусса:

.

Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности , то поток вектора напряженности сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю. А полный поток через гауссову поверхность равен сумме потоков через его основания, то есть равен

.

Используя теорему Гаусса, найдем напряженность электрического поля вне и внутри заряженного слоя.

При  заряд, заключенный внутри цилиндрической поверхности, равен , поэтому напряженность электрического поля внутри слоя равна .

При  заряд, заключенный внутри цилиндрической поверхности, равен , поэтому напряженность электрического поля снаружи слоя равна .

График напряженности проекции  показан на Рис.8.

Рис.8

Электрическое поле заряженной нити

Пример 2.10.

Вычислить напряженность электрического поля бесконечно тонкой и бесконечно длинной прямолинейной нити, однородно заряженной электричеством с линейной плотностью l.

Решение.

Найдем напряженность электрического поля с помощью теоремы Гаусса. Наличие осевой симметрии в распределении заряда, позволяет сделать вывод о том, что вектор  направлен радиально к линии заряда или от нее, в зависимости от знака заряда. Ввиду той же симметрии величина Е может зависеть только от расстояния до заряженной нити

Е =Е (r).

Для определения этой зависимости выберем гауссову поверхность следующим образом. Построим цилиндр с боковой поверхностью удаленной от нити на расстояние r и основаниями, перпендикулярными к нити (Рис.9а). Поток вектора  через оба основания цилиндра равен нулю, т.к. . Поток через боковую поверхность равен Е × S, т.к. , S - площадь боковой поверхности. Поэтому полный поток через выбранную Гауссову поверхность равен .

Заряд нити внутри рассматриваемой поверхности равен заряду отрезка нити длиной l:

Применяя теорему Гаусса, получим соотношение:

,

откуда найдем

.

График зависимости представлен на Рис.9б.

Рис.9а	Рис.9б