Электрическое поле заряженного цилиндра

Пример 2.11.  

Поверхность бесконечного длинного кругового цилиндра заряжена однородно с линейной плотностью λ. Определите напряженность электрического поля внутри и вне цилиндра. Полученный результат представьте на графике , где - проекция вектора напряженности на ось r, перпендикулярную поверхности цилиндра, с началом отсчета на его оси симметрии.

Решение.

Наличие осевой симметрии в распределении заряда, позволяет сделать вывод о том, что вектор  направлен радиально - к линии оси цилиндра или от нее, в зависимости от знака заряда. Ввиду той же симметрии величина напряженности может зависеть только от расстояния до оси цилиндра:

Е = Е (r).

Для определения этой зависимости выберем гауссову поверхность следующим образом. Построим цилиндр с боковой поверхностью удаленной от оси на расстояние и основаниями, перпендикулярными к оси цилиндра. Поток вектора  через оба основания цилиндра равен нулю, т.к. . Поток через боковую поверхность равен Е × S, т.к. , S- площадь боковой поверхности. Из теоремы Гаусса следует:

Для величины проекции получим:

, если r < R,

, если > R.

График этой зависимости, представленный на Рис.10, характеризуется скачком величины напряженности при , что отражает  идеализацию распределения заряда на геометрической поверхности.

Рис.10

Пример 2.12.

Область внутри бесконечного длинного кругового прямого цилиндра радиуса R заряжена однородно с объемной плотностью ρ. Определите напряженность электрического поля внутри и вне цилиндра. Полученный результат представьте на графике , где - проекция вектора напряженности на ось r, перпендикулярную поверхности цилиндра, с началом отсчета на его оси симметрии.

Решение.

Наличие осевой симметрии в распределении заряда, позволяет сделать вывод о том, что вектор  направлен радиально - к линии оси распределения заряда или от нее, в зависимости от знака заряда. Ввиду той же симметрии величина Е может зависеть только от расстояния до оси:

Е = Е (r)

Для определения этой зависимости выберем гауссову поверхность следующим образом. Построим цилиндр с боковой поверхностью удаленной от нити на расстояние r и основаниями, перпендикулярными к нити. Высота цилиндра . Поток вектора  через оба основания цилиндра равен нулю, т.к. . Поток через боковую поверхность равен Е × S, т.к. , S- площадь боковой поверхности. Из теоремы Гаусса следует:

Для величины проекции получим:

 при

 при .

График, представленный на Рис.11 характеризуется отсутствием скачка величины напряженности поля при r = R в отличие от случая распределения заряда на поверхности цилиндра.

Рис.11

Дифференциальная форма теоремы Гаусса Пример 2.13 В некоторой области вектор напряженности электрического поля зависит от координат x, y, z прямоугольной системы координат по закону , где a - известная постоянная, ,  и  - орты осей. Определите объемную плотность заряда в данной области. Решение. Плотность распределения заряда определяется выражением . Представляя дивергенцию в координатной форме, получим:

Пример 2.14

Вычислите дивергенцию напряженности  электрического поля точечного заряда в произвольной точке пространства в декартовой системе координат.

Решение.

Локальная форма теоремы Гаусса позволяет выразить дивергенцию напряженности электрического поля через локальную плотность распределения заряда по соотношению . Плотность объемного распределения точечного заряда равна нулю в любой точке вне заряда. Следовательно, , при . Конечно же, этот результат можно получить и прямым расчетом:

так как = , = , =