Модуль 2 Функции нескольких переменных

1. Метрика и окрестности в Rⁿ. Открытые, замкнутые, ограниченные и связные множества. Область и ее граница. Сформулируйте определения и приведите примеры.

2. Скалярная ФНП как отображение Rⁿ ® R. Область определения, график функции двух переменных, линии и поверхности уровня. Сформулируйте определения и приведите примеры.

3. Предел ФНП и его свойства. Бесконечно малые и бесконечно большие ФНП. Сформулируйте определения и приведите примеры.

4. Непрерывность ФНП в точке и на множестве. Точки, линии и поверхности разрыва. Сформулируйте определения и приведите примеры.

5. Полное и частное приращение ФНП. Частные производные ФНП и их геометрическая интерпретация для n = 2.

6. Частные производные ФНП высших порядков. Матрица Гессе. Теорема о независимости смешанных частных производных от порядка дифференцирования (формулировка).

7. Дифференцируемость ФНП. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости (с доказательством). Полный дифференциал ФНП и его геометрический смысл для n = 2.

8. Необходимые и достаточные условия, при которых дифференциальная форма P (x, y) dx + Q (x, y) dy  является полным дифференциалом (необходимость с доказательством). Интегрирование дифференциальных уравнений в полных дифференциалах. Приведите примеры.

9. Дифференцируемость сложной функции (с доказательством). Частная и полная производные.

10. Инвариантность формы полного дифференциала первого порядка (с доказательством). Дифференциалы высших порядков.

11. Неявные ФНП. Теорема о существовании и дифференцируемости неявных ФНП (с доказательством).

12. Производная ФНП по направлению и градиент ФНП (определения, свойства и вывод основных формул).

13. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Определения, условия их существования и вывод уравнений.

14. Формулы Тейлора и Маклорена для ФНП. Сформулируйте теоремы и приведите примеры.

15. Экстремум ФНП. Необходимые условия экстремума (с доказательством). Достаточные условия экстремума (формулировка).

16. Условный экстремум ФНП. Целевая функция и уравнения связи. Геометрическая интерпретация при n = 2.

17. Функция Лагранжа. Необходимые условия существования условного экстремума (доказательство для n = 2). Достаточные условия (формулировка).

18. Нахождение наибольшего и наименьшего значений ФНП на замкнутом и ограниченном множестве. Приведите пример.

19. Векторная функция нескольких переменных (ВФНП) как отображение . Координатные функции. Геометрическая интерпретация для n; m = 2,3.

20. Предел ВФНП. Теорема о связи предела ВФНП и пределов ее координатных функций (с доказательством). Непрерывность ВФНП в точке и на множестве.

21. Частные и полные приращения, частные производные ВФНП. Теорема о связи частных производных ВФНП и ее координатных функций (формулировка).

22. Дифференцируемость ВФНП, частные и полный дифференциалы. Матрица Якоби ВФНП, якобиан. Производная сложной ВФНП в матричной форме.

Вопросы с доказательством, включенные в контроль по модулю № 2

1. Необходимое условие дифференцируемости ФНП в точке.

2. Достаточное условие дифференцируемости ФНП в точке.

3. Необходимое условие того, что выражение  является полным дифференциалом.

4. Теорема о дифференцируемости сложной функции в точке.

5. Инвариантность формы полного дифференциала первого порядка относительно переменных.

6. Теорема о дифференцируемости неявной ФНП.

7. Вывод формулы производной по направлению ФНП.

8. Свойства производной по направлению и градиента ФНП с выводом.

9. Теорема о существовании касательной плоскости к поверхности в точке. Вывод уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности.

10.  Необходимое условие экстремума ФНП.

11.  Необходимое условие условного экстремума ФНП (n =2).

12.  Теорема о связи предела ВФНП и пределов ее координатных функций.