Ускорение и его составляющие

 

Ускорением называется физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости по модулю и направлению.

Средним ускорением неравномерного движения в интервале от t до t+Dt называется векторная величина, равная отношению приращения вектора скорости - DV к приращению времени - Dt.

(5.1)

Вектор среднего ускорения сонаправлен с вектором приращения вектора скорости: <а>­­DV.

Модуль вектора среднего ускорения определяется формулой:

(5.2)

Единицей измерения ускорения в системе СИ является - 1 м/c².

Если Dt®0, то <а>® а _мгн

Мгновенным ускорением частицы (МТ) в момент времени t является предел отношения приращения вектора скорости к приращению времени, за которое оно (приращение вектора скорости) произошло:

(5.3)

Мгновенное ускорение есть первая производная от вектора скорости по времени, или вторая производная радиус - вектора по времени:

(5.4)

Но радиус - вектор  можно представить в виде:

(5.5)

и тогда вектор ускорения  можно представить в виде:

(5.6)

Компоненты вектора мгновенного ускорения равны вторым производным соответствующих координат по времени:

, ,

(5.7)

В общем случае вектор ускорения можно представить в следующем виде:

(5.8)

Рассмотрим теперь два частных случая: 1) движение по прямолинейной траектории и 2) равномерное движение по окружности.

1. При движении в одну и ту же сторону по прямолинейной траектории скорость изменяется только по модулю. Представим скорость в виде:

(5.9)

где  - орт вектора скорости.

Рассмотрим движение по прямолинейной траектории:

= const, а изменяется только модуль скорости - V.

Тогда

(5.10)

Это ускорение называется тангенциальной (касательной) составляющей ускорения и обозначается - .

Если V¢>0, то ускорение .

Если же V¢<0, то , а | a_x |=| V ¢ |.

Рассмотрим равномерное движение по окружности радиуса R, V=const, а е_v - изменяется, тогда:

(5.11)

Pис. 5.1. В момент времени t частица находилась в точке 1, а спустя время Dt она оказалась в точке 2, пройдя путь DS= Dt; за этот промежуток времени орт скорости поворачивается на угол Dj и получает приращение

B

Рис. 5.2. Приращение орта вектора скорости за промежуток времени Dt

Приращение угла поворота равно:

(5.12)

По определению производной:

(5.13)

Если Dt®0, то Dj®0, а отношение хорды АВ к длине дуги È АВ®1. Тогда приняв , можно написать что, ¢, где n¢- единичный вектор, имеющий такое же направление как и Δ e_v. При предельном переходе этот единичный вектор превращается в n - орт нормали к траектории в той точке, в которой была частица в момент времени t.

Подставив в формулу (5.18.) значения  с учетом того, что , получим:

(5.19)

Быстрота поворота вектора скорости пропорциональна модулю скорости и кривизне траектории, (в случае окружности кривизна траектории характеризуется величиной обратной радиусу).

А формула (5.11) после подстановки в нее значения ev¢ из формулы (5.18.) примет вид:

(5.20)

Т.е. при равномерном движении по окружности ускорение определяется формулой (5.20.) и направлено оно по нормали к мгновенной скорости. Эту составляющую ускорения называют нормальной составляющей ускорения или нормальным ускорением и обозначают индексом n.

Каждой точке произвольной криволинейной траектории можно сопоставить окружность, которая сливается с линией на бесконечно малом ее участке (рис.5.3.)

 

Рис. 5.3. Радиус окружности, сливающейся с траекторией на бесконечно малом ее участке, характеризует кривизну траектории

 

Радиус этой окружности характеризует кривизну линии в данной точке и называется радиусом кривизны.

Кривизна характеризуется величиной, обратной радиусу окружности:

(5.21)

При неравномерном движении частиц по криволинейной траектории оба множителя в формуле  (5.9.), меняются со временем.

Тогда, в общем случае, ускорение распадается на два слагаемых:

(5.22)

где первое слагаемое коллинеарно вектору мгновенной скорости и, следовательно, направлено по касательной к траектории - тангенциальная (касательная) составляющая ускорения - at, а второе слагаемое совпадает по направлению с нормалью к скорости - нормальная составляющая ускорения - .

Первое слагаемое ()- характеризует быстроту изменения модуля скорости, второе ()- быстроту изменения направления скорости.

Составляющие ускорения и  перпендикулярны друг к другу, поэтому квадрат модуля ускорения равен сумме квадратов модулей составляющих:

,

(5.23)

Историческая справка.

Понятие ускорения было впервые введено во французской высшей школе преподавателем Понселе, в 1841 году, который был ранее инженером французской армии.

В системе единиц СИ [a]=1 м/c².

В зависимости от значений at и an движение можно классифицировать так;

1) a_x =0, =0 - прямолинейное равномерное движение;

2) a_x = = const; =0 - прямолинейное равнопеременное движение;

3) a_x = f (x); =0 - прямолинейное движение с переменным ускорением;

4) a_x =0; = const - равномерное движение по окружности;

5) a_x =0;  - равномерное криволинейное движение;

a_x = const;  - криволинейное равнопеременное движение;

a_x = f (x); - криволинейное движение с переменным ускорением.