Геометрическое изображение комплексных

ЧИСЕЛ Y

Y

5

A

b

M

-4

3 0               K

X

B

A

0

-5

a

X

Рис.2

Рис.1

Комплексные числа можно изобразить в декартовой системе координат. Для этого мы выбираем на плоскости прямоугольную систему координат с одним и тем же масштабом на обеих осях (рис. 1). Комплексное число а + bi мы изображаем точкой М, абсцисса которой равна – a, т.е. действительной части комплексного числа, а ордината – мнимой.

Примеры. На рис.2 точка A с абсциссой х=3 и ординатой у=5 изображает комплексное число 3 + 5i. Точка B (-4,-5) изображает комплексное число -4 - 5i.

Действительные числа (в комплексной форме они имеют вид а+0i) изображают точками оси ОХ, а чисто мнимые точками оси ОУ.

Сопряжённые комплексные числа изображаются парой точек, симметричных относительно оси абсцисс; так, точки А и А' на рис. 2 изображают сопряжённые числа

3 +5i и 3 -5i.

Комплексные можно изображать также отрезками или векторами, начинающимися в точке O и оканчивающимися в соответствующей точке числовой плоскости.

Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с функцией комплексного переменного, расширило область их применения.

Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости (при изучении течения жидкости, задач теории упругости).

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Абсцисса а и ордината b комплексного числа a+bi выражаются через модуль r и аргумент q. Формулами: a=rcosq;           r=a/cosq; b=rsinq; r=b/sinq.

r - длина вектора (а+bi), q - угол, который он образует с положительным направлением оси абсцисс (см. рис. 1).

Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде

r(cosq+ isinq), где r> 0, т.е. z= a+ bi = r(cos q+ i sin q)

Это выражение называется нормальной тригонометрической формой или тригонометрической формой комплексного числа.

ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ СРАВНЕНИЕ

a + bi = c + di означает, что a = c и b = d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).

 

СЛОЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Определение. Суммой комплексных чисел а+ bi и a'+b'i называют комплексное число (а+ а') + (b+ b')i. Это определение подсказывается правилами действий с обычными многочленами.

Пример 1. (-3 + 5i) + (4- 8i)=1 - 3i.

Пример 2. (2 + 0i) + (7 + 0i)=9 + 0i. Так как запись 2 + 0i обозначает то же, что и 2 наполненное действие согласуется с обычной арифметикой (2 + 7=9).

Для комплексных чисел справедливы переместительный и сочетательный законы сложения. Их справедливость следует из того, что сложение комплексных чисел по существу сводится к сложению действительных частей и коэффициентов мнимых частей, а они являются действительными числами, для которых справедливы указанные законы.

 

ВЫЧИТАНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Определение. Разностью комплексных чисел а+bi и а’+bi называется комплексное число (а- а') + (b- b')i.

Пример 1. (-5 + 2i) -(3- 5i) = -8 + 7i.

Пример 2. (3 + 2i) - (-3 + 2i) = 6 + 0i = 6.

УМНОЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Определение.  Произведением комплексных чисел а+bi   и a'+b'i

называется комплексное число (аа' – bb') + (ab' + ba')i.

Замечание. На практике нет нужды пользоваться формулой произведения. Можно перемножить данные числа, как двучлены, а затем положить, что i²= -1

Пример. (1 - 2i)(3 + 2i)=3 - 6i + 2i - 4i² =3 - 6i + 2i + = 7- 4i.

ДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

В соответствии с определением деления действительных чисел устанавливается следующее определение.

Определение. Чтобы разделить комплексное число a+bi на комплексное число

а' + b'i необходимо найти такое число x+yi, которое в произведении с a^’+b’

даст a+ bi

Конкретное правило деления получим, записав частное в виде дроби и умножив числитель и знаменатель этой дроби на число, сопряжённое со знаменателем

 

      

ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА И МУАВРА

В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование. Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-ых степеней сначала из отрицательных, а затем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра (1707): (cos j+isin j)ⁿ=cos(jn)+isin(n j).

Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу: e^ix= cosx+isinx,

которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число е в любую комплексную степень. Любопытно, например, что е^{i p}= -1. Таким образом можно находить синус и косинус от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел, то есть строить теорию функций комплексного переменного. С помощью формулы Муавра выводится формула извлечения корня из комплексного числа.