Знакоположительные числовые ряды

Опр.  наз. знакополож., если .

Т1.  – сх.  – огр. сверху, при этом

Док-во:  по теор. для посл. (1 сем.)

 

Вопрос 3

Т2. (Признак сравнения)

1.  сх.

2. расх.  расх.

Док-во:

1.  

2.  сх. Тогда по св-ву 1  тоже сх., но по усл.  расх.  противоречие  расх.

Сл. (Признак сравнения в предельной форме)

 сх. или расх. одновр.

Док-во:

 

 Предп., что  сх.  тоже сх.  сх.

Пусть  расх. тоже расх.  тоже расх.

Аналогично для сх. и расх. .

 

Вопрос 4

Т3. (Интегральный признак Коши-Маклорена)

 сх. или расх. одновременно.

Док-во:

 

 

 

 

Если ряд сх., то  имеет огр. сверху част. суммы огр. сверху той же суммой сх. Если ряд расх., то  не огр. сверху,  тоже не огр. расх.

Если сх., то  огр. сверху  огр. сверху  ряд сх. Если расх., то  не огр. сверху  не огр. сверху  не огр. сверху  ряд расх.

Вопрос 4

Т4. (Признак Даламбера)

1.

2.  расх.

Док-во:

1.  

 сх.

2.

 расх.                                                      

Сл. (Признак Даламбера в пред. форме)  

Док-во:

q<1

q>1

Вопрос 6

Т5. (Радикальный признак Коши)

1.  сх.

2.  расх.

Док-во:

1.  сх.

2.  расх.

Сл. (Радикальный признак Коши в пред. форме)

Док-во:

q<1 (крайняя правая пред. точка) Правее q+  нах. конечное число точек посл-ти. Если бы там было бескон. число точек, то м.б. бы выбрать сх. посл-ть и она лежала бы правее q, но q – верхний предел. Следовательно, противоречие.

 сх.

 

 расх.

Вопрос 7

Т6. (Специальный признак сравнения)

1.  сх.

2. расх.  расх.

Док-во:

 

Т7. (Признак Раабе)

1.  сх.

2.  расх.

Док-во:

1. , т.е.

, т.е.

 

 по Т6 (спец. признак сравнения)  сх.

2.  по Т6 (спец. признак сравнения)  расх.

Сл. (Признак Рабье в пред. форме)

Док-во:

r – конечное число

 

 сх. по т. Раабе

 расх. по Раабе

 сх. по т. Раабе

 расх. по т. Раабе

Т8. (Признак Гауса)

1.

2.

3.

4.

(Без доказательства!)

Связь признаков Даламбера, Раабе и Гаусса

Вопрос 8

Знакопеременные числовые ряды

 

Опр.  наз. абс. сх-ся, если  сх.

Т1. Если  сх.  сх.

Док-во:

Опр. Если  сх., но  расх., то  наз. усл. сх-ся.

Вопрос 9

Т2. (Признак Лейбница)  сх.

Док-во:  

Сл. (Оценка остатка знакочер. рядов)

Док-во:

                                         

 

Вопрос 10

Преобразование Абеля

 

 

 

Т3. (Признак Дирихле)  имеет огр. част. суммы  сх.

Док-во: Пусть

Вопрос 11

Преобразование Абеля

 

 

 

Т4. (Признак Абеля)  сх.

Док-во:

 

 

Вопрос 12

Методы суммирования

Опр. . Если  метод суммирования.

 – обобщ. сумма

Методы суммирования (примеры):

1.

2. T

3. T

4.   (метод ср. арифм.)

Опр. Метод суммирования Т – линейный, если

 

Опр. Метод суммирования Т – регулярный, если

Опр. Регул. Т – вполне регулярный, если

Метод средних арифметических линеен

Установим, что метод средних арифметических регулярный

 

 

 метод ср. арифм. рег.

Установим, что этот же метод вполне рег.

 

 метод ср. арифм. вполне рег.

Метод ср. арифм. 2-го пор-ка сильнее, чем метод ср. арифм. 1-го пор-ка.

Вопрос 13

Функциональные последовательности и ряды.

 

Опр. Х ⊂ (−∞; + ∞) наз. мн-во сходимости (1) (ряда(2)), если ∀

 

            

Опр. Х ⊂ (−∞; + ∞) наз. мн-во абс. сходимости ряда (2), если Х – мн-во сходимости ряда

Иначе Х – мн-во усл. сх-ти.

Равномерная сходимость.

 – определение сх-ти в каждой точке мн-ва Х (поточечная сходимость).

Опр.  равн. сх. на мн-ве Х к f(x), если

Обз. (x) ⇉ f(x) на Х

Если (x) ⇉ f(x) на Х ⇒ (x) → f(x) ∀х∈Х

Отрицание равн. сх. (x) ⇉ f(x) на Х, если

Равномерная сходимость ряда – равномерная сходимость последовательности его частичных сумм:

Связь поточечной и равн сх

(?)Отсутствие равномерной сх-ти к поточечному пределу означает отсутствие равномерной сходимости вообще, как как если бы (x) ⇉ g(x) f(x) на Х, то и  для всех    

Вопрос 14