Т1. (Необходимое и достаточное условие равномерной сх-ти функц. посл-ти)

(x) ⇉ f(x) на Х ó  

Док-во:

 

←.

(x) ⇉ f(x) на Х

Вопрос 15

Т2. (Критерий Коши равномерной сх-ти функц. посл-ти)

(x) ⇉ f(x) на Х ó

Док-во: (x) ⇉ f(x) на Х, т.е.

 

 =  

 

←.  

 рассм. след.  (по критерию Коши для числ. посл.)

 

(x) ⇉ f(x) на Х

Вопрос 16

Т2’. (Критерий Коши равномерной сх-ти функц. рядов)

↔ (без док-ва)

Т2’’. (Необходимый признак равномерной сх-ти функц. рядов)

 след.  

Док-во:

 

 

 

 

Вопрос 17

Т3. (Признак Вейерштрасса равномерной сх-ти функц. рядов)

 

Док-во:

 

 

Вопрос 18

Т4. (Признак Дирихле)

 след.

Док-во:

 

 

Вопрос 19

Т5. (Признак Абеля)

 

 

Док-во:

 

 

 

Вопрос 20

Т1. (О предельном переходе)

(x) ⇉ f(x) на Х,

Док-во:

 

 

 

 

Т1’.

 

____________________________

 

 

 

Вопрос 21

Т2(Непр. пред. ф-ии функц. посл. в точке).

 

Т3.  

Док-во: применим Т2 для каждой точки

След.

Т2’.(Непр. суммы функ. ряда в точке)

 

Т3’.(Непр. суммы функ. ряда на отрезке)

Вопрос 22

Т4.(Дини)  

Док-во:

 

 

 

 

Т4’.(Дини для рядов)  

Вопрос 23

Т5.(О почленном инт-ии функц. посл-тей)

 

Док-во:

 

Т5’.(Для рядов)

____________________________

 

 

Вопрос 24

Т6. (О почленном дифф. функц. посл-тей.)

 

Док-во:

 

Т6’.

 

 

                 

 

Вопрос 25

Степенные ряды

Опр. Ряды вида

 

    

Т1. (Первая теорема Абеля)

Пусть

Док-во:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вопрос 26

Т2. (Коши-Адамар)

 

Док-во:

1.  

 

2.  

 

3.  

 

 

Вопрос 27

Т3. (О равномерной сходимости степенных рядов)

 

Док-во:

 

  Т4. (О непрерывности суммы степенного ряда)

 

Док-во:

 

Т5. (Теорема единственности для степенных рядов)

 

 

 

 

Док-во:

 

 

 

   

Вопрос 28

Т6.

 

Док-во:

Т7.

Док-во:

 

 

Т8.(Вторая теорема Абеля)

 

 

Док-во:

 

Вопрос 29

Т9.(Почленное диффер-е степенного ряда)

 

 

Док-во:

 

 

Т10.(О почленном инт.  степ. ряда)

 

       

Док-во:

 

 

 теореме о равн. сх-ти степенного ряда

 его можно интегрировать для

Если о поведении степенного ряда на концах интеграла сх.  ряд можно интегрировать

Вопрос 30

Биноминальный ряд

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 знакополож., нет абс. сх. расх.

 

 

 

 

Вопрос 31

 

 

 

 

......................................................................

 

 

 

  

 

Опр. Если ф-ия  явл. суммой своего ряда Тейлора, то  аналитическоя ф-ия (рассм. ф-ия должна сх. в рассм. окр-ти к )

Формула Тейлора (в т.         

Остаточные члены:

1)

2)  

(Если остаточный член → 0, то значение формулы → . Если остаточный член равномерно → 0, то значение формулы равномерно → )

Убедимся, что 5 осн. разл. – разл-ся аналит. ф-ий.

1.

Получим ряд:

 

Алгоритм: 1) нашли производные

2) построили ряд

3) уст., что ряд сх.

! 4) не факт, что он сх. именно к

5) установим сх. ряда к

Запишем ост. член в форме Лагранжа:  

 

 

 

 

2.  (установить сам-но)!!!

3.  (установить сам-но)!!!

 

Вопрос 32

 

 

 

 

......................................................................

 

 

 

  

 

Опр. Если ф-ия  явл. суммой своего ряда Тейлора, то  аналитическоя ф-ия (рассм. ф-ия должна сх. в рассм. окр-ти к )

Формула Тейлора (в т.         

Остаточные члены:

1)

2)  

(Если остаточный член → 0, то значение формулы → . Если остаточный член равномерно → 0, то значение формулы равномерно → )

4.

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

5.

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·  

·

 

Надо куда-то вставлять ли?

Пример

 

1. |q|<1;  сх.

2. q>1;  расх.

3. q<-1;  расх.

4.  расх.

5.  расх.

Пример

- гармонический ряд

 – расх.

 

Пример

База данных рядов для сравнения

;

Ряд Лейбница

 расх.

Примеры

 

 оба ряда сх. абс.

 

 сх. усл. (по Дирихле)

 

 

 

 

Суммирование:

 

 

 

 

 

 

 

Пример.

X =

1.        ⇉

2.   ⇉

3.   ⇉

4.   ⇉

x ≠ 0   

5. ⇉

x ≠ 0

 

· Установим, что в примере 1 (x) ⇉ f(x)

∃ε

· Установим, что в примере 2 (x) ⇉ f(x)

∃ε

· Установим, что в примере 3 (x) ⇉ f(x)

∀ε

 

· Установим, что в примере 4 (x) ⇉ f(x)

∃ε

· Установим, что в примере 5 (x) ⇉ f(x)

∃ε

Применим эту теорему для 5 примеров.

1. след.   ⇉

2. след.   ⇉

3.   

при    ⇉

4.

5.

при

Пример. Ряд Лейбница 1

 

 

 

 

 

 

Предположим, что ⇉ есть, перейдем к пределу , каждый член ряда исх. стр. к соотв. члену другого ряда. Но этот другой ряд не обл. ⇉, след. исх. ряд тоже не обладает ею.

,+∞)

                                                  Рассм. этот ряд не на всем мн-ве, а только на

 

 

          след.  ⇉  на  (по Вейерштрассу) 

След. след.  непр. при (

! Установим отсутствие равн. сх., а затем исп-я равн. сх. докажем непр-ть.

Установим дифф-ть.

 

 

 

       

 

Сам-но:

Примеры.