Боровская модель круговых орбит для водородоподобной системы

Вывод формулы (5.5) (и тем самым объяснение закономерности 5 раздела 5.1), описывающей уровни энергии атома водорода, и нахождение других характеристик стационарных состояний этого атома были осуществлены Нильсом Бором в рамках модели круговых орбит. В отличие от постулатовБора, отражающих наиболее общие квантовые закономерности и всесторонне подтвержденных дальнейшим ходом развития физики, модельная теория Бора содержала предположения, противоречивость и временный характер которых были ясны Н. Бору с самого начала.

В простейшем варианте этой модели предполагается, что:

а) Электрон движется вокруг ядра, обладающего зарядом Ze, по круговой орбите радиуса r со скоростью V согласно законам классической механики и, следовательно:

.

(5.7)

б) Стационарным состояниям атома соответствуют те орбиты, для которых момент импульса кратен :

,

(5.8)

где  .

Этих предположений достаточно для того, чтобы найти дискретные – «проквантованные» в рамках данной модели - значения различных физических характеристик стационарных состояний водородоподобных систем: атома водорода (Z = 1), иона гелия Не⁺ (Z = 2), двукратно ионизированного атома лития Li⁺⁺ (Z = 3) и т.д. Действительно, непосредственно из (5.7) и (5.8) получаются наборы для радиусов «разрешенных» орбит r _n и для скоростей электрона V _n:

где  ,

(5.9)

 

где ,

(5.10)

а с помощью (5.9) и (5.10) – для полной энергии системы:

.

(5.11)

Таким образом, боровская модель круговых орбит позволяет не только вывести формулу (5.5) для уровней энергии атома водорода, но и выразить постоянную Ридберга через фундаментальные константы. В самом деле, совпадение найденного из эксперимента значения  с величиной , вычисленной в соответствии с (5.11), по формуле:

,

(5.12)

является очень хорошим. Оно становится еще лучшим (до седьмого знака), если в (5.12) под   понимать не массу электрона , а приведенную массу системы электрон-ядро:

(5.13)

и тем самым принять во внимание движение ядра (учесть конечность его массы).

В заключение отметим, что в ходе развития квантовой физики представления об орбитах электронов были отвергнуты. Согласно квантовой механике – последовательной теории микроявлений, созданной к 1926 г, состояние электрона в атоме следует описывать с помощью волновой функции, определяющей, в частности, вероятность нахождения электрона в том или ином месте пространства. Уравнения квантовой механики позволяют в принципе найти эти функции для любого состояния любой микросистемы (атома, молекулы и т.д.). В случае атома водорода получены точные решения этих уравнений, полностью согласующиеся с результатами точнейших экспериментов. Из этих решений следует, что формула для уровней энергии (5.11) не требует пересмотра (она лишь уточняется при учете спина электрона и релятивистских поправок), в тогда как формулы (5.9) и (5.10) следует понимать лишь как приближенные оценки для расстояния электрона от ядра и для скорости электрона в водородоподобном атоме. Таким образом, величины  и , наряду с постоянной , остались в качестве естественных масштабов в физике атома. Постоянную   называют (первым) боровским радиусом, а отношение   к скорости света – постоянной тонкой структуры (a):

.

(5.14)

Экспериментальная установка

В данной работе изучается серия Бальмера в спектре испускания атома водорода. Длины волн линий этой серии удовлетворяют соотношению (5.6) при , (формуле Бальмера):

.

(5.15)

Квантовое число   для первых четырёх линий серии Бальмера, лежащих в видимой области спектра, принимает значения 3, 4, 5, 6. Эти линии обозначаются соответственно , , , .

Свечение водорода создаётся в газоразрядной лампе при пропускании через неё электрического тока от высоковольтного источника. Для наблюдения спектра и измерения длин волн спектральных линий используется монохроматор.

Экспериментальная установка состоит из монохроматора типа МУМ, водородной лампы ТВС-15 в кожухе и источника питания лампы. Монохроматор и лампа крепятся с помощью рейтеров на двойном рельсе. Оптическая схема установки представлена на рис.5.3.

Универсальный монохроматор МУМ представляет собой спектральный прибор с вогнутой отражательной дифракционной решеткой 10, и входной щелью 5 постоянной ширины 0,05 мм. Вместо выходной щели в монохроматоре установлены окуляр 9 и указатель 8 в виде острия, на которое при сканировании спектра можно выводить нужную спектральную линию.

Сканирование спектра производится поворотом решётки с помощью рукоятки 11, находящейся на боковой стенке справа. При этом длина волны спектральной линии, совмещённой с указателем 8, определяется непосредственно по цифровому механическому счётчику 12 с точностью до ±0,2 нм. Водородная лампа 1 устанавливается перед конденсорной линзой 4, закреплённой в блоке входной щели монохроматора. Поступающее в щель излучение направляется зеркалом 6 на дифракционную решётку 10, где разлагается на монохроматические компоненты и, отразившись от зеркала 7, попадает в окуляр 9.

Рис. 5.3

Источник питания водородной лампы содержит следующие узлы: повышающий трансформатор 220 В ´ 3000 В, блок конденсаторов для повышения устойчивости горения лампы, выключатель и индикатор включения. Кожух лампы обеспечивает безопасность подключения высокого напряжения и свободное перемещение лампы вдоль рельса.

Измерения

После включения водородной лампы производят фокусировку окуляра (путём его небольших перемещений вдоль оптической оси), добиваясь чёткой видимости указателя и спектральных линий. Спектр излучения водородной лампы содержит много спектральных линий, в большинстве принадлежащих молекулярному водороду Н₂. На фоне молекулярного спектра легко обнаруживаются линии атомарного водорода из серии Бальмера. Они выглядят значительно ярче молекулярных линий. Их поиск удобнее всего начинать с красной линии . Следующая – наиболее яркая – зелёно-голубая линия . Третья линия  – фиолетово-синяя. Четвёртая линия  – тёмно-фиолетовая. Из-за небольшой интенсивности наблюдать её значительно труднее первых трёх.

Пронаблюдав весь спектр, схематически зарисовывают его атомарную часть, приблизительно соблюдая интервалы между линиями. После этого тщательно измеряют длины волн четырех линий. Результаты измерений и цвет линий указывают на рисунке. Длины волн вносят также в табл. 5.1.

       Таблица 5.1

Линия
n
цвет
l, нм
, м-1