Лекция 3. Повторение испытаний. Формулы Бернулли, Лапласа и Пуассона

Формула Бернулли

Если производятся испытания, в каждом из которых вероятность появления события  не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события .

Пусть производятся  независимых испытаний и пусть вероятность появления события  во всех испытаниях одинакова и равна  (следовательно, вероятность появления противоположного события  равна ). Тогда вероятность того, что событие  появится ровно  раз, находится по формуле:

.

Эта формула называется формулой Бернулли.

Число  называется числом успехов.

Вероятности  называются биномиальными вероятностями и удовлетворяют условию: .

Пример 1. Найти вероятность того, что при семи бросаниях монеты герб выпадет три раза.

Так как производятся независимые испытания (бросания монеты) и вероятность выпадения герба во всех испытаниях одинакова (она равна ), то применима формула Бернулли.

В данном случае , , , .

Значит, искомая вероятность

.

Пример 2. Вероятность попадания стрелка в мишень при одном выстреле равна 0,7 и не зависит от порядкового номера выстрела. Найти вероятность того, что при 6 выстрелах произойдет: а) не более двух промахов; б) хотя бы один промах.

а) По условию задачи успехом является не попадание, а промах стрелка, поэтому . Следовательно, .

Событие «произошло не более двух промахов» является суммой трех несовместных событий: «не произошло ни одного промаха (произошло 0 промахов)», «произошел один промах», «произошло два промаха». Значит, по теореме сложения вероятностей искомая вероятность .

Вычислим вероятности :

;

;

.

Окончательно получаем

.

б) События «произошел хотя бы один промах» () и «не произошло ни одного промаха» () являются противоположными, значит

.

Число , которому при заданном значении  соответствует максимальная биномиальная вероятность , называется наиболее вероятным числом успехов. Число  удовлетворяет двойному неравенству:

.

Пример 3. Найти наиболее вероятное число выпадений герба при 37 бросаниях монеты.

По условию, , . Тогда . Следовательно, . Полученному неравенству удовлетворяют два целых числа: , . Это означает, что наиболее вероятное число выпадений герба равно 18 или 19.

Формулы Лапласа

Если  и  достаточно велики, то вероятность того, что событие  появится ровно  раз в  независимых испытаниях, находится по формуле:

, где , .

Эта формула называется локальной формулой Лапласа.

Значения функции  находятся по специальной таблице (приложение 1). Функция  обладает свойствами:

1. – четная, то есть для любого действительного ;

2. если , то .

Вероятность того, что в  независимых испытаниях событие  появится не менее  раз и не более  раз, находится по формуле (при условии, что  достаточно велики):

, где

– функция Лапласа, , .

Эта формула называется интегральной формулой Лапласа.

Значения функции  находятся по специальной таблице (приложение 2). Функция  обладает свойствами:

1. – нечетная, то есть для любого действительного ;

2. если , то .

Пример 4. Для данного сорта растения всхожими являются 75% семян. Найти вероятность того, что среди 1000 высеянных семян взойдет: а) 770 семян; б) 720 семян; в) от 720 до 770 семян; г) от 750 до 900 семян.

а) По условию, ; ; ; . Так как  и  – достаточно велики, то применима локальная формула Лапласа.

Найдем значение :

.

По таблице значений функции  найдем .

Тогда вероятность

.

б) В данном случае ; ; , . Тогда

.

Так функция  – четная, то .

Используя локальную формулу Лапласа, окончательно получим:

.

в) По условию ; ; ; , .

Применим интегральную формулу Лапласа.

Найдем значения  и :

; .

По таблице значений функции  найдем  и :

.

Так как функция  является нечетной, то .

Тогда вероятность того, что взойдет от 720 до 770 семян, будет равна .

г) Здесь ; ; ; , . Тогда

; .

По таблице значений функции  найдем .

Поскольку , то .

Используя интегральную формулу Лапласа, вычислим искомую вероятность: .

Формула Пуассона

Если  велико, а вероятность появления события  в каждом испытании мала (), то вероятность того, что событие  появится ровно  раз в  независимых испытаниях, находится по формуле:

, где  – постоянная величина.

Эта формула называется формулой Пуассона.

Пример 5. В организации 300 человек, использующих в своей работе официальный сайт организации. Сотрудники организации работают независимо друг от друга. Для каждого сотрудника вероятность того, что он в течение часа обратится к сайту, равна 0,01. Найти вероятность того, в течение часа к официальному сайту организации обратятся: а) 2 сотрудника; б) не менее 3 сотрудников.

а) По условию, , , . Сотрудники обращаются к сайту независимо друг от друга, число  велико, а вероятность  мала, поэтому можно применить формулу Пуассона.

В нашем случае .

Искомая вероятность .

б) События «в течение часа к сайту обратятся не менее 3 сотрудников» и «в течение часа к сайту обратятся менее 3 сотрудников» - противоположные, следовательно

.

Задачи

1. В среднем стрелок попадает в цель в 80% случаев. Найти вероятность того, что при 5 выстрелах произойдет ровно 2 попадания в цель.

2. Найти наиболее вероятное число выпадений шестерки при: а) 46 бросаниях игрального кубика; б) 59 бросаниях игрального кубика.

3. На обслуживание автобусных маршрутов небольшого города ежедневно выходит 34 автобуса. Вероятность того, что в течение дня автобус нарушит график движения, равна 0,4. Найти наиболее вероятное число автобусов, не нарушивших график движения в течение дня.

4. Рабочий обслуживает 12 однотипных станков. Вероятность того, что в течение часа станок потребует внимания рабочего, равна 1/3. Найти: а) наиболее вероятное число станков, которое потребуют внимания рабочего в течение часа; б) соответствующую этому числу вероятность.

5. В течение первого месяца эксплуатации исправно функционируют 90% новых электрических лампочек. В люстру вкрутили 5 новых лампочек.Найти вероятность того, что в течение месяца: а) «сгорят» две лампочки; б) не «сгорит» ни одна лампочка; в) «сгорит» не более двух лампочек.

6. На автобазе имеется 10 машин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,9. Найти вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не менее 8 машин.

7. Найти вероятность того, что в семье среди 6 детей: а) 4 мальчика; б) хотя бы один мальчик, если вероятность рождения мальчика принимается равной 0,5.

8. Тест состоит из 8 заданий, каждое из которых имеет четыре варианта ответа. Испытуемый выбирает ответ во всех заданиях наудачу. Найти вероятность того, что он: а) правильно выполнит половину заданий теста; б) не выполнит ни одного задания; в) выполнит хотя бы одно задание.

9. В среднем 85% граждан, взявших потребительский кредит, выполняют первый платеж вовремя. В течение месяца банк выдал потребительские кредиты 500 гражданам. Найти вероятность того, что первый платеж своевременно выполнят: а) 450 заемщиков; б) 400 заемщиков; в) 425 заемщиков; г) от 425 до 450 заемщиков; д) от 410 до 430 заемщиков.

10. Вероятность того, что покупателю требуется обувь 41-го размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 100 покупателей обувь 41-го размера потребуют: а) 25 человек; б) от 10 до 30 человек; в) не более 30 человек; г) не менее 35 человек; д) 9 человек.

11. Вероятность рождения девочки примем равной 0,5. Найти вероятность того, что среди 200 новорожденных детей будет: а) 100 девочек; б) 90 девочек; в) 110 девочек; г) от 90 до 110 девочек; д) более 115 девочек.

12. На конференцию приглашены 75 человек, причем каждый из них прибывает с вероятностью 0,8. В гостинице для гостей заказано 65 мест. Найти вероятность того, что все приехавшие будет поселены в гостинице.

13. В страховой компании застраховано 1000 объектов недвижимости. Вероятность повреждения (требующего страховой выплаты) объекта недвижимости в течение года равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение года будет повреждено объектов недвижимости: а) ровно три; б) менее трех; в) более трех; г) хотя бы один.

14. В банк прибыло 2000 стодолларовых купюр. Известно, что в среднем 99,9% купюр являются настоящими. Найти вероятность того, что среди прибывших купюр фальшивых будет: а) пять; б) не больше одной; в) не меньше двух; г) хотя бы одна.

15. На факультете обучается 730 студентов. Найти вероятность того, что 1 сентября является днем рождения: а) трех студентов; б) хотя бы одного студента.

16. Телефонная станция обслуживает 500 абонентов. Для любого из них вероятность позвонить по телефону в течение часа равна 0,002. Найти наиболее вероятное число звонков в течение часа и соответствующую этому числу вероятность.

17. Тигры-альбиносы составляют в природе 0,5% от общей численности популяции. Найти наиболее вероятное число альбиносов среди 600 тигров, живущих в Уссурийской тайге. Найти соответствующую вероятность.

18. Сколько раз придется бросать игральный кубик, чтобы наиболее вероятное число выпадения пяти очков было бы равно 32?

19. С помощью автоматического станка изготовлено 90 деталей. Найти вероятность того, что изготовленная деталь – первого сорта, если в этой партии наиболее вероятное число деталей первого сорта равно 82.

20. Вы играете в шахматы с равным по силе партнером. Что вероятнее: а) выиграть одну партию из двух или две партии из четырех; б) выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти? Ничьи во внимание не принимаются.

21. Сколько раз с вероятностью 0,04115 можно ожидать появления события  в 400 независимых испытаниях, если вероятность его появления в отдельном испытании равна 0,8?

22. В страховой компании застраховано 200 клиентов одного возраста и одной социальной группы. Для каждого клиента вероятность наступления страхового случая в течение года равна 0,01. Каждый клиент 1 января вносит 20 у.е. В случае наступления страхового случая в течение года компания должна выплатить клиенту или его наследникам 1000 у.е. Найти вероятность того, что по итогам года компания по данному виду страхования: а) получит прибыль; б) не получит убытка.

Ответы

1. 0,0512. 2. а) 7; б) 9 или 10. 3. 20 или 21. 4. а) 4; б) 0,238. 5. а) 0,0729; б) 0,59049; в) 0,99144. 6. 0,9298. 7. а) 15/64; б) 63/64. 8. а) 0,0865; б) 0,1001; в) 0,8999. 9. а) 0,00038; б) 0,00038; в) 0,04996; г) 0,49903; д) 0,7056. 10. а) 0,04565; б) 0,98758; в) 0,99379; г) 0,00009; д) 0,002275. 11. а) 0,05641; б) 0,0208; в) 0,0208; г) 0,84146; д) 0,01191. 12. 0,92647. 13. а) 0,1952; б) 0,2379; в) 0,5669; г) 0,9817. 14. а) 0,0361; б) 0,4059; в) 0,5941; г) 0,8647. 15. а) 0,1804; б) 0,8647. 16. 1; 0,3679. 17. 3; 0,2241. 18. . 19. . 20. а) вероятнее выиграть одну партию из двух; б) вероятнее выиграть не менее двух партий из четырех. 21. 325. 22. а) 0,8569; б) 0,9471.