Графическое изображение статистического распределения

Для графического изображения статистического распределения используют полигон, гистограмму и график эмпирической функции распределения.

Полигоном частот называется ломаная, отрезки которой последовательно соединяют точки , где – варианты выборки,  – соответствующие им частоты.

Полигоном относительных частот называется ломаная, отрезки которой последовательно соединяют точки , где  – варианты выборки,  – соответствующие им относительные частоты.

Гистограммой частот (относительных частот) называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины , а высоты равны отношению  ().

Площадь гистограммы частот равна объему выборки . Площадь гистограммы относительных частот равна 1.

Гистограмма служит только для изображения статистического распределения, заданного в виде интервальной таблицы. Полигон можно изобразить для статистического распределения, заданного любым способом. Если статистическое распределение выборки задано в виде интервальной таблицы, то при построении полигона в качестве вариант  берут середины интервалов, а в качестве частот  (относительных частот ) берут частоты (относительные частоты) соответствующих интервалов.

Пример 1. Для данного статистического распределения выборки построить полигон частот и полигон относительных частот.

	2	4	6	8	10
	3	4	7	5	1

Для построения полигона частот необходимо в прямоугольной системе координат изобразить точки , а затем последовательно соединить их отрезками ломаной. Полигон частот изображен на рис. 1.

Найдем распределение относительных частот.

Объем выборки . Тогда распределение относительных частот имеет вид:

	2	4	6	8	10
	0,15	0,2	0,35	0,25	0,05

Чтобы построить полигон относительных частот, нужно в прямоугольной системе координат изобразить точки , а затем последовательно соединить их отрезками ломаной. Полигон относительных частот изображен на рис. 2.

1

0

2

4

6

8

10

3

5

7

Рис. 1. Полигон частот

0,05

0,15

0,25

0

2

4

6

8

10

0,35

Рис. 2. Полигон относительных частот

Пример 2. Для данного статистического распределения выборки, заданного в виде интервальной таблицы частот, построить гистограмму частот.

Номер интервала	1	2	3	4	5
	14	24	32	20	10

В данном случае длина частичного интервала , объем выборки .

Гистограмма частот состоит из пяти прямоугольников, основаниями которых служат указанные в первой строке таблицы интервалы, а высоты равны

.

Гистограмма частот изображена на рис. 3.

8

2

4

6

2

6

10

14

18

22

0

Рис. 3. Гистограмма частот

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называется функция , которая определяет для каждого значения  относительную частоту события :

, где  – число выборочных значений, меньших ;  – объем выборки.

Если изучаемый количественный признак  является дискретным, то график функции  имеет ступенчатый вид, а если  является непрерывным, то график  представляет собой непрерывную линию.

Пример 3. Статистическое распределение выборки задано в виде интервальной таблицы частот. Считая, что изучаемый количественный признак является непрерывным, найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график.

Номер интервала	1	2	3	4	5	6	7
	5	2	10	13	11	6	3

Очевидно, что для всех  значения функции равны 0. Для  определить значения функции не представляется возможным, так как для каждого  из этого интервала не известно, чему равно число выборочных значений, меньших . Если , то . Следовательно, . Рассуждая аналогично, заметим, что точками, в которых значения функции  можно определить, являются левые концы интервалов из интервальной таблицы частот:

,

 и т.д.

Таким образом, значение эмпирической функции распределения  в каждой точке представляет собой накопленную относительную частоту. Поэтому, если , то .

Представим полученные значения функции  в виде следующей таблицы:

	40	56	72	88	104	120	136	152
	0	0,1	0,14	0,34	0,6	0,82	0,94	1

Так как последняя таблица определяет функцию  не полностью (не для всех  известны ее значения), то при построении графика целесообразно доопределить функцию, соединив точки, соответствующие концам интервалов, отрезками прямой (рис. 4). В результате график функции  будет представлять собой непрерывную линию. Он дает приближенное представление о графике теоретической функции распределения  генеральной совокупности.

40

56

120

88

72

104

136

152

0

0,1

0,6

0,82

0,34

0,14

1

0,94

Рис. 4. График эмпирической функции распределения

Задачи

1. Построить полигон частот по данному распределению выборки:

	3	4	5	6
	5	3	14	8

2. Построить полигон частот по данному распределению выборки:

	10	20	30	40	50
	2	9	12	10	7

3. Построить полигон относительных частот по данному распределению выборки:

	3	5	8	9	10
	0,1	0,25	0,35	0,2	0,1

4. Построить полигон относительных частот по данному распределению выборки:

	4	6	8	10	12
	0,3	0,2	0,15	0,3	0,05

5. Построить гистограмму частот и полигон частот по данному распределению выборки:

Номер интервала	1	2	3	4	5	6
	[3;8)	[8;13)	[13;18)	[18;23)	[23;28)	[28;33)
	5	9	15	10	7	4

6. Построить гистограмму относительных частот по данному распределению выборки:

Номер интервала	1	2	3	4	5	6	7	8
	[10;20)	[20;30)	[30;40)	[40;50)	[50;60)	[60;70)	[70;80)	[80;90)
	20	10	30	50	40	25	15	10

7. Статистическое распределение выборки задано в виде интервальной таблицы частот (задача 5). Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график.

8. По данному распределению выборки (задача 6) найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график.