Определение закона распределения результатов измерений или случайных погрешностей измерений.

В последнем случае от выборки результатов измерений x ₁, x ₂, …, x_n переходят к выборке отклонений от среднего арифметического Δ x ₁, Δ x ₂, …, Δ x_n.

1. Первым шагом при идентификации закона распределения является построение по исправленным результатам измерений x_i, где i =1, 2, …, n, вариационного ряда (упорядоченной выборки) y_i, где y ₁ = min (x_i) и y _n = m ax (x_i). Β вариационном ряду результаты измерений (или ихотклонения от среднего арифметического) располагают в порядкевозрастания.

2. Далее этот ряд разбивается на оптимальное число k одинаковых интервалов группирования длиной h =(y ₁ + y_n) / k, где k находится по формуле Стерджесса

k = 1+ 3,32 lg n.

3. Далее определяют интервалы группирования экспериментальныхданных в виде Δ₁ = (y ₁, y ₁ + h); Δ₂ = (y ₁ + h, y ₁ + 2 h); …; Δ _m = (y_n − h, y_n) иподсчитывают число попаданий n_k (частоты) результатов измерений вкаждый интервал группирования. Сумма частот должна равняться числуизмерений.

4. По полученным значениям рассчитывают вероятностипопадания результатов измерений (частости) в каждый из интерваловгруппирования по формуле

p_k = n_k/ n.

5. Проведенные расчеты позволяют построить гистограмму, полигон и кумулятивную кривую.

Для построения гистограммы по оси результатовнаблюдений x откладываются интервалы Δ _k в порядкевозрастания номеров и на каждом интервале строится прямоугольниквысотой p_k. Площадь, заключенная под графиком, пропорциональна числунаблюдений n. При увеличении числаинтервалов гистограмма все болееприближается к гладкой кривой – графику плотности распределениявероятности.

Полигон представляет собой ломаную кривую, соединяющую середины верхних оснований каждого столбца гистограммы.

Кумулятивная кривая – это график статистической функции распределения. Для ее построения по оси результатов наблюдений откладывают интервалы Δ_k в порядке возрастания номеров и на каждом интервале строят прямоугольник высотой

.

6. По виду построенных зависимостей может быть оценен закон распределения результатов измерений.

Рисунок – Гистограмма, полигон (а) и кумулятивная кривая (б)

3. Оценка закона распределения по статистическим критериям.

При числе наблюдений n >50 для идентификации закона распределения используется критерий Пирсона (хи-квадрат) или критерий Мизеса–Смирнова (ω²).алгоритм вычисления которых приведен в [9, 10].

При 1 5 < n <50 для проверки нормальности законараспределения применяется составной критерий (d- критерий),приведенный в ГОСТ 8.207–76.

При n < 15 принадлежностьэкспериментального распределения к нормальному не проверяется.

4. Определение доверительных интервалов случайной погрешности.

Если удалось идентифицировать закон распределения результатовизмерений, то с его использованием находят квантильный множитель z _p при заданном значении доверительной вероятности Р. В этом случаедоверительные границы случайной погрешности .

5. Определение границ неисключенной систематическойпогрешности θ результата измерений.

Под этими границамипонимают, найденные нестатистическими методами границы интервала,внутри которого находится неисключенная систематическая погрешность. Границы неисключенной систематической погрешности принимаются равнымипределам допускаемых основных и дополнительных погрешностей средствизмерений, если их случайные составляющие пренебрежимо малы.

Границы неисключенной систематической погрешности θ результата измерения вычисляют путем построения композиции неисключенных систематических погрешностей средств измерений, метода и погрешностей, вызванных другими источниками. При равномерном распределении неисключенных систематических погрешностей эти границы (без учета знака) можно вычислить по формуле

,

где θ _i – граница i -ой неисключенной систематической погрешности;

k – коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью Р

(при Р = 0,95 k = 1,1); m – число суммируемых погрешностей.

При доверительной вероятности Р = 0,99 коэффициент принимают равным

k =1.4, если число суммируемых неисключенных систематических погрешностей более четырех (m > 4). Если же число суммируемых погрешностей равно четырем или менее четырех (m ≤ 4), то коэффициент k определяют по графику зависимости (ГОСТ 8.207–76).

Доверительная вероятность приопределении границ θ принимается равной доверительной вероятности,используемой при нахождении границ случайной погрешности.