Теорема о зависимости между главными моментами

 системы сил относительно двух точек.

Приводится без доказательства.

 

Главный моментсистемы сил относительно одной точки равен главному моменту системы относительно другой точки, сложенному с векторным произведением радиуса-вектора, соединяющего первую точку со второй, на главный вектор системы.

M_C = M_D + [CD ∙ R].

10. Теорема Вариньона длясистемы сходящихсясил:

Приводится без доказательства.

 

Сумма моментов всех сил неуравновешенной сходящейся системы относительно центра или оси равна моменту равнодействующей этой системы относительно этого центра или этой оси.

mom _o F _v = mom _o R;если F _v = R.

mom _l F _v= mom _l R;

Данная теорема справедлива и для системы параллельных сил направленныхв одну сторону.

Центр системы параллельных сил и центр тяжести тел

Центр системы параллельных сил

Для систем параллельных сил, приводящихся к равнодействующей, введем понятие центрасистемы параллельных сил.

Для этого предположим, что на твердое тело действует система параллельных сил. Линия действия равнодействующей проходит через точку С, положение которой зависит только от модулей и точек приложения данных сил, но не зависит от направления сил.

Положение этой точки не изменится, если все силы повернуть на один и тот же угол в одну сторону вокруг точек приложения сил, сохраняя их параллельность. Эту точку называют центром системы параллельных сил.

Чтобы найти центр системы сил, направленных в одну сторону, применим теорему Вариньона mom ₀ R = mom ₀ F или [ r _o R ] = [ r _v F _v ].

Рис.47

 

 

Пусть направление сил характеризуется единичным вектором e. Тогда

F _v = F _v e и R = F _v = F _v e. Из теоремы Вариньона следует

[ r_cF_ve ] = [ r _v F _v e ], [ r _c F _v e ]- [ r _v F _v e ]=0, [{(F _v)∙ r _c - (F _v ∙ r _v)} e ] = 0.

 

Если векторный множитель, записанный в фигурной скобке, обозначим черезA, то[ Ae ] = 0. Так как e ≠ 0, то либо A =0, либо A ≠0,но A ׀׀ e.

 

Докажем, что A = 0. Для этого повернем все силы вокруг точек их приложения на угол α<π/2 в одну сторону так, чтобы каждая из них стала коллинеарна единичному вектору e ' (рис.47).

Тогда:

F v = F v e΄ и R΄ =  F v ΄ = F v e΄.

 

Проведя аналогичные рассуждения для

[{(F v)∙ r c - (F v ∙ r v)} e΄ ] = 0; [ A ∙ e΄ ] = 0.

 

 

Так как A не может быть параллелен обоим единичным векторам e и e΄, следовательно, A = 0, т.е.

(F v) ∙ r c - (F v ∙ r v) = 0;

 

 

- радиус – вектор центра системы параллельных сил.

 

 

 

                   ;                            ;      (34)

 

- координаты центра системы параллельных сил.

 

 

Определение положения  центра  тяжести тела

На все тела, расположенные в области притяжения Земли, действуют силы этого притяжения. Если тело разбить на отдельные элементарные частицы объемов, то на каждую малую частицу будет действовать сила земного притяженияP _v.

Рассмотрим тело весом P = P _v, находящееся непосредственно у поверхности Земли. Предположим, что размеры этого тела настолько малы по сравнению с радиусом Земли, что силы земного притяжения, действующие на элементарные частицы тела, можно считать параллельными между собой.