Свойства числовых последовательностей.

Цель урока: учащиеся должны знать основные свойства числовых последовательностей; уметь определять некоторые из них.

Дидактический материал: карточки с заданиями для индивидуальной работы учащихся.

Технические средства обучения: презентация «Числовая последовательность»

Ход урока.

Организационный момент.

2.Проверка домашнего задания и постановка целей урока.

Устный, фронтальный опрос.

1. Что такое числовая последовательность? (Вывод: это частный случай числовой функции).

2. Какие способы задания числовой последовательности существуют?

3. Что собой представляет словесный способ задания числовой последовательности? Приведите примеры.

4.Что собой представляет аналитический способ задания числовой последовательности? Приведите примеры.

5. Что собой представляет рекуррентный способ задания числовой последовательности? Приведите примеры.

Вывод: числовая функция обладает всеми свойствами функции.

Работа над изучаемым материалом.

Объяснение нового материала.

Определение 1. Последовательностей (y_n) называют ограниченной сверху, если существует такое число М, что для любого n N выполняется неравенство  М.

 

Определение 2. Последовательность (у _n)называют ограниченной снизу, если существует  такое число m,что для любого n .

Если последовательность ограничена c верху и снизу,то ее называют ограниченной последовательностью.

Пример 1.

Дана числовая последовательность: 1,  Определите, является ли она ограниченной?

Решение. Максимальное значение, которое может принимать эта числовая последовательность это 1; а минимальное – 0. Значит эта числовая последовательность ограниченная.

Определение 3. Последовательность (y_n) называют возрастающей, если каждый её элемент (кроме первого) больше предыдущего:

Пример 2. Возрастающая последовательность 2, 4, 6, 8, 10,....

.. Последовательность (y_n) называют убывающей, если каждый её элемент (кроме первого) меньше предыдущего:

Пример 3.

Исследовать на ограниченность последовательность

y_n= +

Решение.

y₁= , y₂= y₃= и т.д. Эта последовательность ограничена снизу. Наименьший элемент - этой последовательностиy₁= .

Ответ: последовательность ограничена снизу.

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином –монотонные последовательности. Например,  1,4,9,16,25,...,n² ,... и 1,  ...-многоточие последовательности, а последовательность 1,- , - ,...,(-1)^n-1

Если функцияy = f(x) возрастает (убывает) на луче , то последовательность y_n = f(n) – возрастающая (убывающая).

Пример 4. Исследовать на монотонность последовательность y_n= .

Решение.

Выпишем n-й и (n+1)-й члены последовательности: y_n= , y_n+1=  . Найдём их разность

y_n+1 - y_n= - = Для любых значений ny_n+1– y_n, значит последовательность убывает.

Закрепление нового материала. Решение задач по данной теме по индивидуальным карточкам.

4. Обсуждение домашнего задания.

 

Урок