Три секрета прочности волокнистых композитов

Три секрета прочности волокнистых композитов

 

О линейной механике разрушения

Сложные выкладки Гриффитса можно изложить в двух строках, опираясь на теорию размерностей. Предположим в теле объёмом V, нагруженном напряжением σ, существует дисковидная трещина радиуса l («penny- sharp» – монетка с заостренными краями). Её наличие вызывает снижение напряжений в области с объёмом, пропорциональным l ³ (кроме радиуса трещины – другого характерного размера в задаче нет). Значит, общая накопленная упругая энергия выразится в виде

.                                        (1.6)

Согласно гипотезе Гриффитса рост трещины возможен, когда «скорость высвобождения упругой энергии» (в смысле «energy release rate» – отношение изменения упругой энергии к увеличению площади трещины) достигнет критического для данного материала значения (по Гриффитсу: поверхностной энергии g для хрупких материалов типа стекол или по Ирвину-Оровану: удельной – на единицу площади – работы разрушения, которая для пластичных металлов в сотни раз превышает поверхностную энергию). Приращение площади трещины при изменении радиуса dl составляет dS = 2π l dl. Изменение упругой энергии: . Безразмерные коэффициенты k при качественном рассуждении не играют роли, они определяются из точного решения задачи. Основной результат (1.1), получаемый из условия

                                                                        (1.7)

в предположении об отсутствии работы внешних сил (отсутствие смещений) в процессе быстрого подрастания трещины, позволяет объяснить зависимость критических напряжений от длины трещины. Такой же результат (1.1) можно получить для пластины толщиной h (=1) с трещиной длиной 2 l:

                                                        (1.8)

О распределении Вейбулла

Теория «слабого звена» применительно к волокнам выглядит более логичной, чем для обычных квазиоднородных сплавов, где разрушение, возникшее в одной точке (в одном элементе характерного размера), может ещё не означать разрушение всей конструкции. Обозначим P(L) вероятность разрушения волокна длины L для заданного напряжения σ. Тогда вероятность неразрушения этого участка волокна: . Добавим к волокну данной длины L участок волокна произвольной длины L*. Вероятность одновременного выполнения двух условий неразрушения на длине L и на длине L* выразится произведением вероятностей . Далее предлагается взять производную от логарифма этого произведения:

(1.20)

В силу произвольного выбора длины L* она не зависит от L и производная от неё по L равна нулю. Получается, что производная (1.20) не зависит от аргумента и равна константе - с. Поэтому

Это – основная идея. Обычно функцию распределения Вейбулла выбирают в следующем виде

                                    (1.21)

В формуле (1.21) пояснён смысл функции распределения прочности для модели пучка из N волокон, n из которых разрываются при данном напряжении.

Функция плотности распределения прочности получается дифференцированием (1.21):

                                 (1.22)

Здесь для простоты принято, что минимальная прочность σ₀=0.

Распределение Вейбулла более обосновано применительно к прочности волокон, чем традиционное нормальное распределение Гаусса, которое, во-первых, симметрично, во-вторых, допускает бесконечные и отрицательные значения прочности. Нормальное распределение имеет смысл для расчета точности артиллерийской стрельбы, когда отклонения от цели случайны и равновероятны, но для описания реальных, несимметричных, бимодальных («двугорбых») гистограмм прочности волокон его применение совершенно не оправдано.

Прочность пучка волокон за счет накопления разрывов волокон всегда ниже, чем средняя прочность волокон, поэтому статистическая теория прочности предсказывает два противоположных эффекта: рост прочности при уменьшении длины волокна (до эффективной) и снижение прочности пучка по сравнению со средней прочностью волокон. Реальные оценки показывают, что в уравнении (1.5) коэффициент реализации прочности волокон всё-таки меньше единицы из-за влияния быстро накапливающихся разрывов волокон в пучке.

 

Три секрета прочности волокнистых композитов